Matematika SMA Kelas 10 : Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

---

1. Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan pada masalah yang melibatkan jarak, selisih, atau perbedaan nilai. Salah satu konsep matematika yang membantu kita memformalkan masalah tersebut adalah nilai mutlak. Nilai mutlak menyederhanakan pernyataan-pernyataan seperti “selisih usia antara dua orang” atau “jarak antara dua titik pada garis bilangan”.

Dalam materi matematika Kelas 10 ini, kita akan mempelajari secara mendalam tentang persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel. Materi ini sangat penting karena akan menjadi landasan bagi konsep-konsep lanjutan dalam matematika, seperti fungsi nilai mutlak, pertidaksamaan rasional, dan banyak aplikasi dalam pemodelan permasalahan nyata.

Melalui pembahasan yang cukup mendetail, diharapkan siswa dapat:

• Memahami definisi nilai mutlak secara formal.
• Menjelaskan konsep dasar persamaan nilai mutlak.
• Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel dengan berbagai metode.
• Menerapkan konsep nilai mutlak dalam konteks permasalahan sehari-hari.

Artikel ini akan dibagi ke dalam beberapa subtopik. Kita akan mulai dari definisi formal nilai mutlak, kemudian menyelami metode penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak, disertai contoh dan latihan soal untuk menguatkan pemahaman.

2. Definisi Nilai Mutlak

Sebelum masuk ke pembahasan yang lebih dalam, kita perlu memahami apa yang dimaksud dengan nilai mutlak. Secara sederhana, nilai mutlak dari suatu bilangan real dapat diartikan sebagai jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan real. Dengan kata lain, nilai mutlak tidak pernah negatif karena jarak selalu tidak negatif.

Artinya, jika kita memiliki bilangan positif atau nol, maka nilai mutlaknya adalah bilangan itu sendiri. Namun, jika bilangan yang kita miliki negatif, maka nilai mutlaknya adalah kebalikan positifnya (menjadi positif).

Contoh sederhana: \( |5| = 5 \) karena 5 adalah bilangan positif, sedangkan \( |-3| = 3 \) karena -3 adalah bilangan negatif, dan jaraknya dari nol di garis bilangan adalah 3.

Nilai mutlak adalah solusi untuk menyatakan besaran “jarak” atau “selisih” di antara bilangan-bilangan real.

Penting untuk diingat bahwa jarak tidak memiliki arah, sehingga ketika kita berbicara tentang nilai mutlak, kita sedang memperhatikan besarnya jarak, bukan posisi relatif terhadap nol.

Aplikasi Nilai Mutlak dalam Kehidupan Sehari-hari

Banyak contoh penerapan nilai mutlak dalam aktivitas sehari-hari. Misalnya, ketika kita ingin menghitung selisih suhu antara kota A dan kota B, atau selisih keuntungan antara dua hari yang berbeda. Kita cukup mengambil perbedaan dari dua angka terkait dan mewakilkannya menggunakan nilai mutlak agar selisih tersebut selalu non-negatif.

Contoh lain: saat menghitung deviasi atau penyimpangan data dari rata-rata dalam statistika, kita seringkali berhadapan dengan nilai mutlak. Prinsip bahwa “penyimpangan tidak memiliki arah” membuat nilai mutlak menjadi alat yang tepat.

3. Konsep Dasar Persamaan Nilai Mutlak

Setelah memahami definisi nilai mutlak, kita dapat mulai meninjau persamaan nilai mutlak linear satu variabel. Bentuk umum yang akan sering kita jumpai adalah:

dengan \( a \), \( b \), dan \( c \) merupakan konstanta real, serta \( a \neq 0 \). Kita asumsikan variabel yang digunakan adalah \( x \).

Makna dari persamaan \( |ax + b| = c \) adalah kita sedang mencari semua x sedemikian sehingga jarak ekspresi \( ax + b \) terhadap nol adalah \( c \).

Dalam garis besar, jika \( |Y| = c \), maka ada dua kemungkinan utama yang setara:

• \( Y = c \)
• \( Y = -c \)

Menerapkan logika ini ke \( Y = ax + b \) membuat kita dapat menulis persamaan \( |ax + b| = c \) menjadi dua persamaan linear yang berbeda:

Tentu, ini berlaku ketika \( c \ge 0 \). Jika \( c < 0 \), maka persamaan \( |ax + b| = c \) tidak punya solusi karena nilai mutlak tidak bisa bernilai negatif.

Mari kita bahas lebih jauh bagaimana cara menyelesaikan persamaan tersebut, dan apa saja hal-hal penting yang perlu diperhatikan.

Alur Pemecahan Persamaan Nilai Mutlak

Sebelum mempelajari langkah-langkah detail penyelesaian, mari kita pahami alur pemecahan dari satu contoh sederhana:

Dari ilustrasi sederhana di atas, kita melihat bahwa satu persamaan nilai mutlak linear bisa memunculkan dua solusi linear. Tentu jika persamaan menjadi lebih kompleks (misalnya \( a \) dan \( b \) tidak 1 dan 0), kita perlu menormalkan bentuk terlebih dahulu.

Secara ringkas, langkah-langkah umum untuk persamaan nilai mutlak linear satu variabel adalah:

1. Pastikan konstanta di sebelah kanan persamaan (\( c \)) bernilai non-negatif. Jika \( c < 0 \), maka tidak ada solusi.
2. Tuliskan persamaan nilai mutlak \( |ax + b| = c \) menjadi dua persamaan linear:
   • \( ax + b = c \)
   • \( ax + b = -c \)
3. Selesaikan masing-masing persamaan linear secara terpisah.
4. Gabungkan kumpulan solusi yang ditemukan.

Jika suatu langkah menghasilkan inkonsistensi (misalnya solusi tidak valid), maka kita bisa membuang solusi tersebut.

4. Metode Penyelesaian Persamaan Nilai Mutlak

Pada bagian ini, kita akan menjabarkan beberapa metode yang biasa digunakan untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak linear satu variabel. Dua metode yang paling populer adalah:

• Metode Pemecahan Kasus
• Metode Kuadrat (Mengkuadratkan Kedua Sisi)

Meskipun metode kuadrat kadangkala dipakai, pendekatan pemecahan kasus cenderung lebih mudah dipahami dan minim kesalahan bagi pemula. Namun, kita akan melihat keduanya demi kelengkapan.

4.1 Metode Pemecahan Kasus

Metode pemecahan kasus (case analysis) secara prinsip mirip dengan yang telah kita bahas. Metode ini pada dasarnya memecah situasi \( |ax + b| = c \) menjadi dua kondisi:

1. \( ax + b \ge 0 \) sehingga \( |ax + b| = ax + b \)
2. \( ax + b < 0 \) sehingga \( |ax + b| = -(ax + b) \)

Dengan memperhitungkan dua kemungkinan tanda dari ekspresi di dalam nilai mutlak, kita dapat menulis dua persamaan linear yang berbeda. Setiap persamaan akan menghasilkan solusi parsial. Di akhir, kita perlu memeriksa apakah solusi parsial tersebut sesuai dengan kondisi awal yang telah ditetapkan (\( ax + b \ge 0 \) atau \( ax + b < 0 \)).

Dari contoh tersebut, terlihat jelas bagaimana langkah-langkah pemecahan kasus bekerja. Ini adalah cara yang paling umum dan mudah diingat untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak.

4.2 Metode Mengkuadratkan Kedua Sisi

Metode kedua adalah dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan. Kita tahu bahwa \( |Y|^2 = Y^2 \). Maka, persamaan \( |ax + b| = c \) dapat diubah menjadi:

Karena \( |Y|^2 = Y^2 \), kita pun memperoleh:

Lalu, \( (ax + b)^2 = c^2 \) akan menghasilkan:

yang setara dengan:

Sehingga kita kembali pada kesimpulan yang sama: \( ax + b - c = 0 \) atau \( ax + b + c = 0 \). Meskipun pada akhirnya kita sampai pada hasil yang sama, metode kuadrat relatif membutuhkan tindakan ekstra dalam mengembangkan dan memfaktorkan persamaan. Namun, metode ini berguna dalam beberapa kasus tertentu (misalnya ketika kita berhubungan dengan bentuk polinomial lebih kompleks).

Penting: Metode mengkuadratkan kedua sisi harus disertai pengecekan akhir (substitusi solusi ke persamaan awal) karena kuadrat bisa menimbulkan ekstra solusi (yang mungkin tidak memenuhi persamaan nilai mutlak asal).

Pembahasan Lanjutan: Penentuan Syarat \( c \)

Seperti disinggung sebelumnya, sebelum kita melakukan prosedur penyelesaian, pastikan nilai \( c \) yang muncul pada persamaan \( |ax + b| = c \) adalah \( c \ge 0 \). Jika \( c < 0 \), persamaan tersebut tidak memiliki solusi karena nilai mutlak tidak bisa bernilai negatif.

Kasus ini menunjukkan betapa pentingnya mengecek syarat dasar \( c \ge 0 \) sebelum memecahkan persamaan nilai mutlak.

Penggambaran Geometris

Pendekatan geometris yang seringkali membantu pemahaman adalah dengan memandang \( |ax + b| \) sebagai jarak titik \( (x) \) pada sumbu \( x \) terhadap garis \( x = -b/a \). Memang tidak selalu diperlukan dalam penyelesaian persamaan, tetapi kadang membantu kita memahami mengapa persamaan nilai mutlak linear menghasilkan dua titik solusi, yang keduanya berjarak \( c \) dari posisi pusat \( -\\frac{b}{a} \).

Sebagai contoh, pada kasus \( |x| = 5 \), kita sedang mencari titik-titik pada garis bilangan yang berjarak 5 satuan dari 0. Visualisasinya:

• Titik pertama adalah 5 satuan di sebelah kanan 0 (\( x = 5 \)).
• Titik kedua adalah 5 satuan di sebelah kiri 0 (\( x = -5 \)).

Jika ekspresi di dalam nilai mutlak adalah \( (x - h) \), maka secara geometris, kita mencari titik-titik yang berjarak \( c \) dari \( h \). Itulah sebabnya persamaan \( |x - h| = c \) memiliki dua solusi, \( x = h + c \) atau \( x = h - c \), asalkan \( c \ge 0 \).

---

5. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Selain persamaan, pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak juga sangat penting. Misalnya, pernyataan selisih antara dua bilangan tidak melebihi 10 dapat direpresentasikan sebagai \( |x - y| \le 10 \).

Secara umum, kita akan sering menemui bentuk pertidaksamaan nilai mutlak linear:

• \( |ax + b| \le c \)
• \( |ax + b| \ge c \)
• \( |ax + b| < c \)
• \( |ax + b| > c \)

Ketika kita mengerjakan pertidaksamaan nilai mutlak, prinsip dasarnya adalah kita masih berurusan dengan jarak dari \( ax + b \) ke 0. Misalnya, \( |ax + b| \le c \) berarti jarak \( ax + b \) ke 0 paling jauh \( c \). Dalam garis bilangan, ini merupakan interval di sekitar titik \( -b/a \) dengan “radius” \( \frac{c}{|a|} \).

5.1 Bentuk \( |ax + b| \le c \)

Mari fokus pada bentuk \( |ax + b| \le c \). Ada beberapa cara untuk menyelesaikan. Salah satu cara yang paling sering digunakan adalah menerjemahkannya ke dalam bentuk gabungan pertidaksamaan linear.

Ingat, \( |Y| \le c \) setara dengan \( -c \le Y \le c \). Jadi,

Dengan demikian, kita bisa memecahnya menjadi:

Masing-masing adalah pertidaksamaan linear sederhana yang dapat kita selesaikan. Hasil akhirnya akan membentuk suatu interval pada garis bilangan.

Hasilnya adalah interval \( [-1, 7] \). Secara geometris, ini berarti titik \( x \) harus berada dalam jarak 4 satuan (karena \( 8/|2| = 4 \)) dari \( 3 \) (karena \( 2x - 6 = 2(x - 3) \)), yaitu \( 3-4 \) hingga \( 3+4 \). Indeed, itu adalah \( -1 \) hingga \( 7 \).

Catatan Khusus: Jika \( c < 0 \) pada pertidaksamaan \( |ax + b| \le c \), maka tidak ada solusi, sebab nilai mutlak tidak bisa lebih kecil atau sama dengan bilangan negatif.

5.2 Bentuk \( |ax + b| < c \)

Pertidaksamaan \( |ax + b| < c \) hampir sama dengan \( |ax + b| \le c \), hanya saja ketidaksamaan berubah dari \( \le \) menjadi \( < \).

Secara ringkas:

Lagi-lagi, jika \( c \le 0 \), maka tidak akan ada solusi, karena \( |ax + b| \) tidak bisa lebih kecil dari atau sama dengan bilangan negatif.

Geometrisnya, kita mencari titik-titik \( x \) sedemikian sehingga jarak \( x + 1 \) ke 0 (atau jarak \( x \) ke -1) < 3. Intervalnya memusat di -1 dengan radius 3, yakni \( (-4, 2) \).

5.3 Bentuk \( |ax + b| \ge c \)

Jika \( |ax + b| \ge c \), maka ini setara dengan “jarak \( ax + b \) dari 0 minimal \( c \)”. Pada garis bilangan, ini berarti \( ax + b \) berada di luar interval \( [-c, c] \). Secara persamaan, hal itu berarti:

Inilah yang membuat pertidaksamaan \( \ge \) atau \( > \) menjadi “pecahan” interval di kiri dan kanan.

Interval penyelesaian seperti ini disebut union of intervals atau gabungan interval, yaitu \( (-\infty, -3] \cup [7, \infty) \).

5.4 Bentuk \( |ax + b| > c \)

Terakhir, \( |ax + b| > c \) juga mengarah ke konsep yang sama, hanya saja ketidaksamaan berubah dari \( \ge \) ke \( > \). Kita mendapatkan:

Dan sekali lagi, jika \( c \le 0 \), maka kita perlu mempertimbangkan apakah ada kejanggalan. Pada dasarnya, \( |Y| > 0 \) hampir pasti bernilai benar kecuali \( Y = 0 \). Terkait \( c < 0 \), ketidaksamaan \( |ax + b| > c \) selalu benar karena nilai mutlak \( \ge 0 \). Namun, untuk \( c = 0 \), hal itu menyiratkan \( |ax + b| > 0 \), yang berarti \( ax + b \neq 0 \).

Secara interval, hal ini bisa ditulis sebagai \( (-\infty, -2) \cup (-1, \infty) \).

---

6. Latihan Soal dan Pembahasan

Berikut ini kumpulan soal-soal latihan yang dirancang untuk menguji pemahaman Anda tentang persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel. Masing-masing soal diikuti dengan pembahasan jawaban secara mendetail.

Sejauh ini, Anda sudah melihat berbagai contoh penerapan konsep nilai mutlak untuk persamaan maupun pertidaksamaan. Tentu, untuk memperkuat pemahaman, semakin banyak latihan semakin baik.

---

6.1 Soal-Soal Kontekstual dan Aplikasi Nilai Mutlak

Selain soal-soal yang bersifat langsung (langsung menerapkan konsep persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak), terdapat pula soal yang bersifat kontekstual dan lebih dekat dengan kehidupan sehari-hari. Dalam soal-soal seperti ini, nilai mutlak sering diartikan sebagai “jarak” atau “selisih” yang harus memenuhi syarat tertentu.

Misalnya, dalam permasalahan berikut:

“Suhu di dalam ruangan laboratorium tidak boleh berbeda lebih dari 3°C dari 25°C. Berapa batas minimum dan maksimum suhu yang diperbolehkan di laboratorium tersebut?”

Permasalahan semacam ini dapat dirumuskan dengan nilai mutlak. Selisih antara suhu ruangan (T) dan 25 harus lebih kecil atau sama dengan 3:

Dari pertidaksamaan ini, kita dapati \( -3 \le T - 25 \le 3 \), sehingga:

• \( T - 25 \le 3 \) \( \Longrightarrow T \le 28 \)
• \( T - 25 \ge -3 \) \( \Longrightarrow T \ge 22 \)

Jadi, suhu ruangan harus berada di antara 22°C dan 28°C. Contoh ini menunjukkan betapa nilai mutlak mudah diterjemahkan sebagai “jarak tidak boleh melebihi …”.

Contoh Aplikasi Lain

1. Kesalahan Pengukuran Dalam fisika atau kimia, pengukuran selalu punya toleransi kesalahan. Jika kita bilang suatu alat ukur memiliki toleransi kesalahan ±0,5 gram dari nilai sebenarnya, berarti selisih hasil timbangan dari nilai sebenarnya tidak boleh melebihi 0,5. Secara matematis, jika nilai sebenarnya adalah \( M \), dan pengukuran adalah \( m \), maka: \[ |m - M| \le 0.5. \] Dari situ kita dapat interval nilai pengukuran yang masih dianggap sah.

2. Perencanaan Biaya Bayangkan seseorang merencanakan biaya transportasi dengan perkiraan ±Rp10.000,- dari budget semula. Jika budget awal adalah Rp50.000,-, maka setiap pengeluaran transportasi harus berada dalam selisih Rp10.000,- dari Rp50.000,-. Sehingga: \[ |x - 50{.}000| \le 10{.}000 \] Artinya, x boleh minimal Rp40.000,- dan maksimal Rp60.000,- agar tidak melebihi batas perkiraan.

Beberapa Tip Menghadapi Soal Kontekstual

1. Ubahlah narasi “jarak,” “selisih,” “perbedaan,” “toleransi,” atau kata-kata sejenis menjadi ekspresi nilai mutlak: \( |X - Y| \).
2. Tentukan apakah ketidaksamaan tersebut \( \le \), \( < \), \( \ge \), atau \( > \). Ini biasanya tergantung frasa “tidak lebih dari,” “kurang dari,” “setidaknya,” “paling sedikit,” dsb.
3. Ubah ke bentuk pertidaksamaan linear ganda (jika \( \le \) atau \( < \)) atau bentuk ganda terpisah (jika \( \ge \) atau \( > \)).
4. Selalu interpretasikan kembali dalam konteks soalnya untuk memastikan jawaban benar-benar menjawab pertanyaan.

---

6.2 Soal Cerita Nilai Mutlak Lanjutan

Pada bagian sebelumnya, kita telah melihat contoh konteks suhu, biaya, atau selisih nilai ujian. Bagian ini menghadirkan soal cerita yang sedikit lebih kompleks, menggabungkan beberapa konsep sekaligus. Fokusnya tetap pada bagaimana menerjemahkan “selisih” menjadi bentuk nilai mutlak.

---

6.3 Soal dan Pembahasan Tambahan (Tingkat Lanjut)

Untuk semakin memantapkan pemahaman, berikut beberapa soal tingkat lanjut. Kunci keberhasilan dalam soal-soal semacam ini adalah memahami interpretasi nilai mutlak dan memiliki kecermatan menyelesaikan pertidaksamaan bercabang.

---

7. Penutup

Dalam materi ini, kita telah mengupas persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel mulai dari definisi dasar hingga penerapan pada soal-soal kontekstual. Berikut ringkasan poin-poin penting yang patut diingat:

• Nilai Mutlak: \( |x| \) mempresentasikan jarak \( x \) dari nol pada garis bilangan, sehingga ia selalu non-negatif.
• Persamaan Nilai Mutlak: \( |ax + b| = c \) (dengan \( c \ge 0 \)) memiliki dua bentuk linear, yakni \( ax + b = c \) dan \( ax + b = -c \). Jika \( c < 0 \), tidak ada solusi.
• Pertidaksamaan Nilai Mutlak:
  • \( |ax + b| \le c \) setara dengan \( -c \le ax + b \le c \).
  • \( |ax + b| < c \) setara dengan \( -c < ax + b < c \).
  • \( |ax + b| \ge c \) setara dengan \( ax + b \le -c \) atau \( ax + b \ge c \).
  • \( |ax + b| > c \) setara dengan \( ax + b < -c \) atau \( ax + b > c \).
  dan selalu periksa syarat \( c \ge 0 \) untuk validitas.
• Aplikasi nilai mutlak mencakup soal kontekstual tentang jarak, selisih, toleransi, dan batasan-batasan di kehidupan nyata.

Memahami konsep nilai mutlak sejak dini akan memudahkan kalian menghadapi berbagai permasalahan dalam matematika lanjutan, seperti fungsi-fungsi nonlinear, limit dan limit mutlak, maupun aplikasi dalam analisis data.

Baca Juga :

• Matematika SMA Kelas 10 : Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Variabel
• Matematika SMA Kelas 10 : Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel