Home > Belajar > Matematika SMA Kelas 10 : Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Variabel

Matematika SMA Kelas 10 : Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Variabel

24 Feb 2025 | dibaca 22 kali

Daftar Isi

1. Pengantar

Pertidaksamaan merupakan salah satu konsep mendasar dalam matematika yang memiliki banyak penerapan dalam kehidupan sehari-hari. Di kelas 10, kita mulai mempelajari pertidaksamaan dengan lebih mendalam, khususnya pertidaksamaan rasional dan irasional satu variabel. Kedua jenis pertidaksamaan ini akan sering ditemukan tidak hanya dalam konteks akademik, namun juga dalam pemodelan masalah di bidang sains, teknik, ekonomi, dan berbagai disiplin lainnya.

Apakah arti “rasional” dan “irasional” dalam konteks pertidaksamaan? Kita telah mengenal bahwa bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai \( \frac{p}{q} \) dengan \( p \) dan \( q \) adalah bilangan bulat dan \( q \neq 0 \). Sementara bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai \(\frac{p}{q}\) dengan p dan q bilangan bulat, contohnya \(\sqrt{2}\), \(\pi\), dan lain-lain. Namun, yang kita bahas di sini bukanlah semata-mata bilangan rasional atau irasional, tetapi pertidaksamaan (inequality) yang melibatkan ekspresi rasional dan irasional.

Pertidaksamaan rasional adalah pertidaksamaan yang di dalamnya terdapat ekspresi berbentuk \(\frac{f(x)}{g(x)}\) (dengan \(f(x)\) dan \(g(x)\) adalah polinomial dan \(g(x)\neq 0\)), sedangkan pertidaksamaan irasional adalah pertidaksamaan yang melibatkan ekspresi akar (seperti akar kuadrat, akar kubik, dan seterusnya) yang tidak selalu menghasilkan bilangan rasional. Masing-masing memiliki teknik penyelesaian yang berbeda, terutama dalam hal domain (daerah asal) dan penentuan tanda.

Dalam materi ini, kita akan mempelajari definisi, sifat, dan berbagai cara untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional maupun irasional. Di akhir, tersedia kumpulan soal beserta pembahasannya agar kita lebih memahami dan terampil dalam menyelesaikan masalah terkait pertidaksamaan. Tujuan utamanya adalah agar kita bisa menerapkan konsep ini dalam berbagai situasi, baik di dalam pelajaran matematika lanjutan maupun di kehidupan nyata yang menuntut kemampuan memodelkan dan menyelesaikan persoalan berbasis pertidaksamaan.

Mari kita mulai dengan mendalami konsep dasar sebelum masuk ke pembahasan inti mengenai pertidaksamaan rasional dan irasional. Persiapkan diri Anda dengan pemahaman yang baik tentang polinomial, bentuk pecahan, serta aljabar dasar seperti pemfaktoran. Selain itu, kita juga akan mengulas kembali konsep tanda suatu ekspresi, interval, dan cara menganalisis domain.

2. Definisi Dasar dan Konsep Awal

Sebelum kita menjelajah lebih jauh tentang pertidaksamaan rasional dan irasional, ada baiknya kita mereviu beberapa konsep dasar yang akan menjadi landasan untuk memahami dan menyelesaikan persoalan. Konsep-konsep ini mencakup pemahaman tentang pertidaksamaan secara umum, interval pada garis bilangan real, domain fungsi, serta sifat-sifat penting pada operasi aljabar.

2.1. Pengertian Pertidaksamaan

Pertidaksamaan atau inequality adalah sebuah pernyataan yang menunjukkan hubungan lebih besar, lebih kecil, lebih besar atau sama dengan, atau lebih kecil atau sama dengan antara dua ekspresi. Jika kita misalkan dua ekspresi sebagai \( A \) dan \( B \), maka pertidaksamaan tersebut dapat berupa:

Dalam konteks satu variabel (misalnya, variabel \( x \)), maka \( A \) dan \( B \) biasanya merupakan ekspresi aljabar yang melibatkan \( x \). Tugas kita umumnya adalah mencari nilai-nilai \( x \) yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Kumpulan semua nilai \( x \) yang memenuhi pertidaksamaan disebut penyelesaian (solution set).

2.2. Interval dan Notasi Interval

Setelah kita menemukan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan, biasanya kita menyatakannya dalam bentuk interval. Interval menggambarkan himpunan titik pada garis bilangan yang memenuhi kriteria tertentu. Ada beberapa jenis interval yang sering digunakan:

Notasi interval ini penting karena ketika kita menyelesaikan suatu pertidaksamaan, hasil akhirnya adalah himpunan nilai-nilai yang valid untuk variabel \( x \). Akan sangat praktis menuliskannya dalam bentuk interval.

2.3. Domain dan Nilai Tak Tentu

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan, terutama pertidaksamaan rasional dan irasional, kita perlu berhati-hati terhadap domain dari ekspresi yang kita teliti. Sebagai contoh, pada pertidaksamaan rasional, kita tidak boleh membiarkan penyebut (denominator) menjadi nol. Sedangkan pada pertidaksamaan irasional (misalnya yang mengandung akar kuadrat), kita tidak boleh mengambil nilai di dalam akar yang menghasilkan bilangan negatif (jika kita hanya membahas real, bukan kompleks).

Oleh karena itu, penentuan domain adalah langkah awal yang sangat penting. Sering kali, penentuan domain dapat dilakukan dengan mengajukan syarat:

Nilai yang menyebabkan penyebut nol atau radikal bernilai negatif (pada akar genap) disebut nilai tak terdefinisi. Pada proses penyelesaian, nilai-nilai ini harus dikecualikan karena tidak mungkin digunakan dalam himpunan penyelesaian pertidaksamaan yang sah.

2.4. Sifat Dasar Pertidaksamaan

Kita juga perlu mengingat beberapa sifat dasar pertidaksamaan yang akan sangat membantu saat melakukan manipulasi aljabar. Misalnya:

Poin terakhir sangat penting. Saat menyelesaikan pertidaksamaan rasional, kita sering kali berhadapan dengan analisis tanda (positif atau negatif) sehingga membalik arah pertidaksamaan bisa terjadi tergantung pada interval yang kita analisis.

3. Pertidaksamaan Rasional

Pertidaksamaan rasional adalah pertidaksamaan yang bentuknya melibatkan rasio atau pecahan (fraction) di mana pembilang dan penyebutnya adalah polinomial. Secara umum, bentuknya dapat kita tuliskan sebagai:

\[ \frac{f(x)}{g(x)} \quad \text{(operator pertidaksamaan)} \quad 0, \]

atau bentuk pertidaksamaan serupa dengan ruang lingkup yang sama, misalnya:

\[ \frac{f(x)}{g(x)} > k, \quad \frac{f(x)}{g(x)} < k, \quad \frac{f(x)}{g(x)} \ge k, \quad \frac{f(x)}{g(x)} \le k, \]

dengan \( k \) bilangan real tertentu (sering kali dikonversi agar pertidaksamaan menjadi dibandingkan dengan 0).

3.1. Langkah-Langkah Umum Penyelesaian Pertidaksamaan Rasional

Ada beberapa langkah umum yang biasa kita lakukan untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional. Secara garis besar sebagai berikut:

  1. Menentukan domain. Pastikan untuk mengeluarkan nilai-nilai \( x \) yang membuat penyebut \( g(x) = 0 \). Hal ini karena nilai tersebut menyebabkan ekspresi tidak terdefinisi.
  2. Menyederhanakan bentuk pertidaksamaan. Jika mungkin, faktorkan \( f(x) \) dan \( g(x) \) agar lebih mudah menentukan tanda.
  3. Memindahkan semua suku ke satu ruas, sehingga pertidaksamaan menjadi \[ \frac{f(x)}{g(x)} - k \quad (\text{operator}) \quad 0 \] atau langsung \[ \frac{f(x) - k \cdot g(x)}{g(x)} \quad (\text{operator}) \quad 0. \] Tujuan akhirnya adalah pertidaksamaan berbentuk \[ \frac{h(x)}{g(x)} \quad (\text{operator}) \quad 0 \] untuk beberapa polinomial \( h(x) \).
  4. Menentukan titik-titik kritis. Titik kritis adalah nilai \( x \) yang membuat \( h(x) = 0 \) atau \( g(x) = 0 \). Nilai-nilai ini membagi garis bilangan menjadi beberapa interval terpisah.
  5. Menganalisis tanda di setiap interval yang terbentuk. Dengan melihat tanda (positif/negatif) dari masing-masing faktor (pada pembilang dan penyebut), kita dapat menentukan apakah ekspresi \(\frac{h(x)}{g(x)}\) positif atau negatif di interval tersebut.
  6. Menentukan interval penyelesaian berdasarkan hasil analisis tanda dan memperhatikan arah pertidaksamaan (> 0, < 0, \(\ge 0\), \(\le 0\)) serta domain awal.

Metode analisis tanda ini sering disebut sign chart atau diagram tanda. Mari kita lihat contohnya secara lebih konkret di subbagian berikut.

3.2. Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan Rasional

Contoh 3.2.1

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan \[ \frac{2x-4}{x+1} > 0. \]

  1. Tentukan domain.
    Penyebut \( x + 1 \) tidak boleh nol, sehingga \( x \neq -1 \). Domain sementara adalah \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}.
  2. Faktorkan pembilang dan penyebut.
    Pembilang \( 2x - 4 = 2(x - 2) \). Penyebut \( x + 1 \) sudah sederhana.
    Maka pertidaksamaan menjadi \[ \frac{2(x-2)}{x+1} > 0. \] Kita bisa abaikan faktor 2 (karena konstanta positif tidak memengaruhi tanda) dan fokus pada \[ \frac{x-2}{x+1} > 0. \]
  3. Cari titik kritis.
    Titik kritis berasal dari:
    • Pembilang \( x - 2 = 0 \implies x = 2 \).
    • Penyebut \( x + 1 = 0 \implies x = -1 \). (jangan lupa, \( x = -1 \) dikeluarkan dari domain)
    Titik kritis kita: \(-1\) dan 2.
  4. Buat garis bilangan dan interval.
    Kita bagi sumbu \( x \) menjadi tiga interval: \[ (-\infty, -1), \quad (-1, 2), \quad (2, \infty). \]
  5. Uji tanda di setiap interval.
    Interval \( (-\infty, -1) \): Ambil contoh \( x = -2 \). \[ (x-2) = -2 - 2 = -4 < 0, \quad (x+1) = -2 + 1 = -1 < 0. \] Sehingga \(\frac{x-2}{x+1}\) = \(\frac{\text{negatif}}{\text{negatif}} = \text{positif}\).

    Interval \((-1, 2)\): Ambil contoh \( x = 0 \). \[ (x-2) = -2 < 0, \quad (x+1) = 1 > 0. \] Sehingga \(\frac{x-2}{x+1} = \frac{\text{negatif}}{\text{positif}} = \text{negatif}\).

    Interval \((2, \infty)\): Ambil contoh \( x = 3 \). \[ (x-2) = 1 > 0, \quad (x+1) = 4 > 0. \] Sehingga \(\frac{x-2}{x+1} = \frac{\text{positif}}{\text{positif}} = \text{positif}\).
  6. Tentukan interval yang memenuhi > 0.
    Dari hasil uji tanda, ekspresi \(\frac{x-2}{x+1}\) (atau \(\frac{2(x-2)}{x+1}\)) bernilai positif pada interval: \[ (-\infty, -1) \quad \text{dan} \quad (2, \infty). \] Namun, ingat \( x \neq -1 \), sehingga kita menuliskan penyelesaian sebagai: \[ (-\infty, -1) \cup (2, \infty). \]

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan \(\frac{2x-4}{x+1} > 0\) adalah \((-\infty, -1) \cup (2, \infty)\).

Contoh 3.2.2

Selesaikan pertidaksamaan \[ \frac{x - 1}{2x - 6} \le 1. \]

Kita ikuti langkah-langkah serupa. Pertama, domain: \(\ 2x - 6 \neq 0 \implies x \neq 3.\) Lalu ubah ke satu ruas:

\[ \frac{x - 1}{2x - 6} - 1 \le 0. \]

Samakan penyebut:

\[ \frac{x - 1}{2x - 6} - \frac{2x - 6}{2x - 6} \le 0 \quad \implies \quad \frac{x - 1 - (2x - 6)}{2x - 6} \le 0. \] \[ = \frac{x - 1 - 2x + 6}{2x - 6} \le 0 = \frac{-x + 5}{2x - 6} \le 0. \]

Kita peroleh \(\frac{-x + 5}{2x - 6} \le 0.\) Faktorkan sedikit: \(-x + 5 = -(x - 5)\). Jadi:

\[ \frac{-(x-5)}{2(x - 3)} \le 0 \quad \iff \quad \frac{x-5}{x-3} \ge 0 \quad (\text{membalik tanda karena ada faktor negatif di atas}). \]

Kita cukup selesaikan \(\frac{x-5}{x-3} \ge 0.\) Titik kritis: \(x=5\) dan \(x=3\) (dari penyebut). Bagi sumbu \( x \) menjadi interval: \((-\infty, 3), (3, 5), (5, \infty)\).

  • Interval \((-\infty, 3)\): ambil \(x = 0\). \((x-5) = -5 < 0\), \((x-3) = -3 < 0\). Rasio \(\frac{\text{negatif}}{\text{negatif}} = \text{positif}\). Maka \(\frac{x-5}{x-3} > 0\).
  • Interval \((3, 5)\): ambil \(x = 4\). \((4-5) = -1 < 0\), \((4-3) = 1 > 0\). Rasio \(\frac{\text{negatif}}{\text{positif}} = \text{negatif}\). Maka \(\frac{x-5}{x-3} < 0\).
  • Interval \((5, \infty)\): ambil \(x = 6\). \((6-5) = 1 > 0\), \((6-3) = 3 > 0\). Rasio \(\frac{\text{positif}}{\text{positif}} = \text{positif}\). Maka \(\frac{x-5}{x-3} > 0\).

Karena kita butuh \(\frac{x-5}{x-3} \ge 0\), maka interval yang memenuhi adalah di mana ekspresi bernilai positif atau nol. Persamaan \(\frac{x-5}{x-3} = 0\) terjadi jika \(x-5=0 \implies x=5\). Periksa apakah \(x=5\) masuk domain (ya, karena tidak menyebabkan penyebut nol). Sehingga \(x=5\) bisa diikutkan.

Dari analisis tanda, ekspresi positif di interval \((-\infty, 3)\) dan \((5, \infty)\). Lalu kita tambahkan titik \(x=5\) karena di situ bernilai 0 (memenuhi \(\ge\)). Pastikan \(x=3\) tidak termasuk karena penyebut nol. Penyelesaian akhirnya:

\[ (-\infty, 3) \cup [5, \infty). \]

Dengan contoh-contoh di atas, kita bisa melihat pola penyelesaian pertidaksamaan rasional. Prosesnya mencakup penentuan domain, penyederhanaan pertidaksamaan, menentukan titik kritis (pembilang = 0, penyebut = 0), lalu meninjau tanda ekspresi di interval yang terbentuk.

3.3. Variasi Bentuk Pertidaksamaan Rasional

Pertidaksamaan rasional dapat muncul dalam berbagai variasi bentuk. Terkadang, selain dibandingkan dengan 0 atau 1, pertidaksamaan juga bisa dibandingkan dengan fungsi lain. Prinsip penanganannya sama: kita coba satukan ke satu ruas sehingga semua istilah berada dalam satu ekspresi rasional. Kemudian, kembali kita cari titik kritis dan analisis tanda.

Berikut ini beberapa tips penting saat menghadapi variasi bentuk:

Selanjutnya, kita akan beralih pada pertidaksamaan irasional untuk melengkapi pemahaman kita. Namun sebelum itu, mari kita siapkan rangkuman singkat tentang poin-poin penting pada pertidaksamaan rasional:

4. Pertidaksamaan Irasional

Pertidaksamaan irasional biasanya melibatkan ekspresi dengan akar, seperti \(\sqrt{x}\), \(\sqrt{x^2 + 1}\), \(\sqrt{ax + b}\), dan sebagainya, di mana nilai di bawah tanda akar harus memenuhi syarat tertentu (terutama untuk akar genap). Kita juga bisa memiliki bentuk-bentuk seperti \(\sqrt{x+2} - \sqrt{3-x} > 1\), dan lain sebagainya. Titik penting dalam pertidaksamaan irasional adalah pengamatan domain dan manipulasi akar yang hati-hati.

4.1. Langkah Umum Penyelesaian Pertidaksamaan Irasional

Berikut adalah beberapa panduan umum dalam menyelesaikan pertidaksamaan irasional, khususnya yang mengandung akar kuadrat (akar genap):

  1. Menentukan domain: Pastikan bahwa ekspresi di bawah akar bernilai non-negatif (untuk akar genap, seperti akar kuadrat). Contohnya, jika kita punya \(\sqrt{x-2}\), maka syarat domain adalah \(x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2\).
  2. Memisahkan akar jika perlu: Terkadang kita perlu memindahkan satu (atau lebih) akar ke satu sisi pertidaksamaan agar bisa melakukan kuadrat kedua ruas. Proses kuadrat harus dilakukan dengan sangat hati-hati, karena kuadrat bisa menimbulkan kesetaraan semu (memperkenalkan solusi palsu).
  3. Kuadrat kedua ruas: Setelah bentuknya memungkinkan (misalnya semua suku lain berada di sisi yang berbeda dari akar), kita bisa menguadratkan kedua ruas. Dengan menguadrat, akar akan hilang, tetapi kita wajib memeriksa kembali solusi yang didapat di domain awal, karena bisa saja ada solusi yang muncul dari proses kuadrat yang sejatinya tidak memenuhi pertidaksamaan semula (solusi ekstran).
  4. Analisis hasil dan gabungkan dengan domain awal, serta periksa mana saja yang benar-benar memenuhi pertidaksamaan semula.

Metode di atas kadang memerlukan langkah berulang jika ada lebih dari satu akar, atau jika proses penjumlahan/pengurangan akar tidak bisa diselesaikan hanya dengan sekali kuadrat. Selain itu, untuk meminimalisir kesalahan, disarankan untuk selalu melakukan substitusi kembali ke pertidaksamaan awal.

4.2. Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan Irasional Sederhana

Contoh 4.2.1

Tentukan solusi pertidaksamaan: \[ \sqrt{x+1} > 2. \]

  1. Domain: karena ada \(\sqrt{x+1}\), kita butuh \(x+1 \ge 0 \implies x \ge -1.\)
  2. Manipulasi akar: \(\sqrt{x+1} > 2\). Selama \(\sqrt{x+1}\) terdefinisi, maka \(\sqrt{x+1} \ge 0\). Kita kuadratkan kedua ruas, tetapi hanya sah jika kedua ruas \(\ge 0\). Sisi kanan 2 adalah positif, sisi kiri akar juga non-negatif. Maka aman untuk kuadrat: \[ x + 1 > 4. \]
  3. \(\implies x > 3.\)
  4. Perhatikan domain: domain awal \(x \ge -1\). Solusi yang ditemukan \(x > 3\). Gabungkan: \[ x > 3, \quad x \ge -1 \implies x > 3. \]
  5. Penyelesaian akhir: \((3, \infty)\).

Contoh di atas tergolong mudah karena bentuk pertidaksamaan hanya satu akar dan tidak melibatkan suku lain. Mari kita lihat contoh lain yang melibatkan pertidaksamaan lebih kompleks.

Contoh 4.2.2

Selesaikan pertidaksamaan: \[ \sqrt{2x - 1} + 1 \le x. \]

  1. Domain: Karena \(\sqrt{2x-1}\) mensyaratkan \(2x - 1 \ge 0 \implies x \ge \frac{1}{2}\).
  2. Isolasi akar: \[ \sqrt{2x - 1} \le x - 1. \] Perhatikan bahwa agar \(\sqrt{2x - 1}\) didefinisikan, \(x \ge \frac{1}{2}\). Selanjutnya, sisi kanan \(x - 1\) mungkin positif, nol, atau negatif. Jika \(x - 1 < 0\), maka \( \sqrt{2x - 1} \le x - 1\) sulit dipenuhi, karena \(\sqrt{2x - 1} \ge 0\). Jadi, syarat tambahan: \(x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1\). Jika \(x < 1\) tapi masih \(\ge \frac{1}{2}\), maka sisi kanan negatif, sementara sisi kiri non-negatif, jelas pertidaksamaan \(\sqrt{2x - 1} + 1 \le x\) tidak akan terpenuhi. Kita cek lebih teliti setelah ini.
  3. Kuadratkan: Jika \(x \ge 1\), maka \(x-1 \ge 0\). Kuadratkan kedua sisi: \[ (\sqrt{2x - 1})^2 \le (x - 1)^2 \implies 2x - 1 \le (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1. \] Pindahkan semua ke satu ruas: \[ 0 \le x^2 - 2x + 1 - (2x - 1) = x^2 - 4x + 2. \] Maka \[ x^2 - 4x + 2 \ge 0. \]
  4. Analisis persamaan kuadrat \(x^2 - 4x + 2 = 0\). Kita cari akarnya. Gunakan rumus kuadrat: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}. \] Jadi, \(x^2 - 4x + 2\) = \((x - (2 + \sqrt{2}))(x - (2 - \sqrt{2}))\).
  5. \(\quad x^2 - 4x + 2 \ge 0\) adalah kuadrat dengan koefisien \(x^2\) positif. Bentuk parabola terbuka ke atas, maka \(x^2 - 4x + 2 \ge 0\) di luar interval akar-akar, yaitu \((-\infty, 2 - \sqrt{2}] \cup [2 + \sqrt{2}, \infty)\).
  6. Kombinasi dengan syarat \(x \ge 1\): Kita lihat:
    • Interval \((-\infty, 2 - \sqrt{2}]\) ada sebagian di bawah 1, karena \(2 - \sqrt{2} \approx 0.59\). Lebih tepatnya, \(2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.414 = 0.586\ldots\). Jadi, interval ini hampir seluruhnya < 1. Namun, syarat minimal \(x \ge 1\). Sehingga dari interval ini, kita tidak mendapatkan apa-apa ketika digabung dengan \([1, \infty)\).
    • Interval \([2 + \sqrt{2}, \infty)\) = \([2 + 1.414\ldots, \infty)\) = \([3.414\ldots, \infty)\). Ini semua di atas 1, jadi cocok dengan syarat \(x \ge 1\). Maka kita peroleh \([2 + \sqrt{2}, \infty)\).
  7. Verifikasi domain awal: Kita tadinya butuh \(x \ge \frac{1}{2}\). Tadi kita sudah perketat ke \(x \ge 1\) agar \(x-1 \ge 0\). Jadi final domain: \(x \ge 1\). Dari hasil analisis, \(\sqrt{2x - 1} \le x-1\) terpenuhi di \([2 + \sqrt{2}, \infty)\) (karena selain itu akan membuat ekspresi kuadrat < 0).
  8. Uji cepat: Coba \(x = 4\) (di dalam \([2 + \sqrt{2}, \infty)\)): \[ \sqrt{2\cdot 4 - 1} + 1 = \sqrt{8 - 1} + 1 = \sqrt{7} + 1 \approx 2.645... + 1 = 3.645..., \] \[ \quad x = 4. \] Apakah \(\sqrt{7} + 1 \le 4\)? \(\sqrt{7} \approx 2.645\), \(\sqrt{7} + 1 \approx 3.645\), itu \(\le 4\). Benar. Jadi sesuai.
  9. Penyelesaian akhir: \[ [2 + \sqrt{2}, \infty). \]

Pada contoh ini, kita menyaksikan bagaimana proses isolasi akar, penentuan domain, dan menguadratkan kedua ruas bisa menjadi sedikit lebih panjang. Namun langkah-langkah sistematis dan pemeriksaan ulang solusi akan membantu kita menghindari kesalahan.

4.3. Bentuk-Bentuk Lain Pertidaksamaan Irasional

Bentuk-bentuk pertidaksamaan irasional bisa lebih bervariasi dari contoh di atas, misalnya:

Prinsip utamanya masih sama: (1) tentukan domain, (2) isolasi akar jika memungkinkan, (3) kuadrat dengan hati-hati, (4) periksa kembali domain dan kemungkinan solusi ekstran. Jika terdapat banyak akar, mungkin perlu kuadrat lebih dari satu kali. Hati-hati dengan domain, karena tiap kali kita menemukan syarat baru, perlu dicek konsistensinya dengan syarat domain semula.

Dari pemahaman ini, Anda sudah memiliki bekal kuat untuk menyelesaikan sebagian besar soal pertidaksamaan rasional dan irasional. Selanjutnya, kita akan berlatih melalui beberapa soal latihan untuk menguji seberapa jauh pemahaman kita. Pastikan Anda mengikuti langkah-langkah umum, terutama penentuan domain dan pengecekan solusi di akhir.

5. Latihan Soal dan Pembahasan

Latihan 1

Selesaikan pertidaksamaan rasional berikut, lalu tuliskan jawaban dalam notasi interval.

  1. \(\displaystyle \frac{3x - 9}{2x + 4} < 0\)
  2. \(\displaystyle \frac{x+2}{x-5} \ge 1\)

Pembahasan Latihan 1

  1. \(\frac{3x - 9}{2x + 4} < 0\).
    Pertama, domain: \(2x + 4 \neq 0 \implies x \neq -2.\)
    Faktorkan: \(3x - 9 = 3(x - 3)\). Jadi \(\frac{3(x - 3)}{2(x + 2)} < 0\). Faktor 3 positif, tidak memengaruhi tanda. Kita analisis \(\frac{x - 3}{x + 2} < 0\).
    Titik kritis: \(x=3\) (pembilang nol), \(x=-2\) (penyebut nol). Bagi sumbu \(x\) menjadi interval: \((-\infty, -2), (-2, 3), (3, \infty)\).

    • Interval \((-\infty, -2)\): ambil \(x=-3\). (x-3) = -6 (negatif), (x+2) = -1 (negatif). Rasio negatif/negatif=positif. Tidak memenuhi < 0.
    • Interval \((-2, 3)\): ambil \(x=0\). (x-3)=-3 (negatif), (x+2)=2 (positif). Rasio negatif/positif=negatif. Memenuhi < 0.
    • Interval \((3, \infty)\): ambil \(x=4\). (x-3)=1 (positif), (x+2)=6 (positif). Rasio positif/positif=positif. Tidak memenuhi < 0.

    Jadi solusi adalah \((-2, 3)\). Tetapi ingat \(x \neq -2\). Maka final: \(\boxed{(-2, 3)}\).

  2. \(\frac{x+2}{x-5} \ge 1\).
    Domain: \(x \neq 5.\)
    Ubah ke satu ruas: \[ \frac{x+2}{x-5} - 1 \ge 0 \quad \iff \quad \frac{x+2 - (x-5)}{x-5} \ge 0 \quad \iff \quad \frac{x+2 - x + 5}{x-5} \ge 0 \quad \iff \quad \frac{7}{x-5} \ge 0. \] Maka \(\frac{7}{x-5} \ge 0\).

    7 selalu positif, maka tanda ditentukan oleh \(x-5\). \(\frac{7}{x-5} \ge 0\) <=> \(x-5 > 0\) atau \(x-5=0\) (tetapi =0 tidak diperbolehkan karena domain). Jadi \(x-5 > 0 \implies x > 5.\)

    Domain melarang \(x=5\). Sehingga solusi \(\boxed{(5, \infty)}\).

Latihan 2

Selesaikan pertidaksamaan irasional berikut:

  1. \(\displaystyle \sqrt{x+4} < x - 2\)
  2. \(\displaystyle \sqrt{2x + 1} + \sqrt{3 - x} \le 4\)

Pembahasan Latihan 2

  1. \(\sqrt{x+4} < x - 2\).
    Syarat domain dari \(\sqrt{x+4}\): \(x+4 \ge 0 \implies x \ge -4\).
    Di sisi kanan, agar \(\sqrt{x+4} < x - 2\) masuk akal, mestinya \(x-2\) harus lebih besar dari 0 (kalau tidak, sisi kanan negatif sedangkan sisi kiri non-negatif, tidak mungkin \(\sqrt{x+4}\) < sisi negatif). Maka \(x - 2 > 0 \implies x > 2.\)

    Jadi domain gabungan: \(x \ge -4\) dan \(x>2\) => \(x>2.\) Lanjut, pada interval \(x>2\), kita bisa kuadratkan: \(\sqrt{x+4} < x - 2\) => \(x+4 < (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4.\)
    Pindah ruas: \(0 < x^2 - 4x + 4 - (x+4) = x^2 - 5x.\) Jadi \(0 < x^2 - 5x = x(x - 5).\)

    Analisis tanda \(x(x-5)\):
    Titik kritis: \(x=0\) dan \(x=5\). Parabola buka atas, \(x(x-5) > 0\) di \((-\infty, 0) \cup (5, \infty)\).

    Tapi domain kita: \(x>2\). Dari \((-\infty, 0) \cup (5, \infty)\), yang relevan untuk \(x>2\) adalah \((5, \infty)\). Maka hasilnya \((5, \infty)\).
    Periksa lagi dengan domain: \((5, \infty)\subset x>2\). Oke, final. \(\boxed{(5, \infty)}\).

  2. \(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{3 - x} \le 4\).
    Syarat domain: \(2x+1 \ge 0 => x \ge -\frac{1}{2}\), dan \(3 - x \ge 0 => x \le 3.\)
    Gabungan: \(-\frac{1}{2} \le x \le 3.\)

    Kita bisa coba langsung: \(\sqrt{2x+1} + \sqrt{3-x} \le 4.\) Untuk cek ke-ekstriman, - Lihat \(\sqrt{2x+1}\) makin besar saat \(x\) makin besar (karena 2x+1 meningkat). - Lihat \(\sqrt{3-x}\) makin besar saat \(x\) makin kecil. Mungkin maximum sum ada di titik tertentu. Lebih sistematis, kita isolasi satu akar dan kuadrat.

    Isolasi: \(\sqrt{2x+1} \le 4 - \sqrt{3-x}\).
    Syarat agar sisi kanan tidak negatif: \(4 - \sqrt{3-x} \ge 0 => \sqrt{3-x} \le 4.\) Ini selalu benar di domain \(-\frac{1}{2} \le x \le 3\), karena \(\sqrt{3-x} \le \sqrt{3-(-\frac{1}{2})} = \sqrt{3.5} < 4.\)

    Kuadrat kedua sisi: \[ 2x+1 \le 16 - 8\sqrt{3-x} + (3-x). \] \[ 2x+1 \le 19 - x - 8\sqrt{3-x}. \] Pindahkan: \[ 3x + 1 - 19 \le - 8\sqrt{3-x} \quad \iff \quad 3x - 18 \le - 8\sqrt{3-x}. \] \[ \iff \quad 3(x - 6) \le - 8\sqrt{3-x}. \]

    Bagian ini tricky karena kita punya tanda negatif di ruas kanan. Jika \(\sqrt{3-x}\ge 0\), maka \(-8\sqrt{3-x} \le 0.\) Sisi kiri 3(x-6). Agar \(\le 0\), kita butuh x-6 <= 0 => x <= 6. Domain semula x <=3, so x <=3 => x<=3. Terpenuhi. Lanjut, kita bisa balik tanda dengan hati-hati. Mungkin lebih mudah pindahkan \(-8\sqrt{3-x}\) ke kiri: \[ 3(x-6) + 8\sqrt{3-x} \le 0. \]

    Kita definisikan function f(x) = 3(x-6) + 8\sqrt{3-x}, domain \(-\frac{1}{2}\le x\le 3.\) Kita mau f(x) <=0.
    Tentu saja, bisa langsung uji beberapa titik. - x=3 => f(3)=3(3-6)+8\sqrt{3-3}=3(-3)+8(0)= -9<=0. Oke, feasible. - x=-0.5 => f(-0.5)=3(-0.5-6)+8\sqrt{3-(-0.5)}=3(-6.5)+8\sqrt{3.5}= -19.5 +8*1.87= -19.5+14.96= -4.54 =><0. Oke, feasible. Mungkin f(x) selalu <=0? Kita cek puncak/ekstrim. Turunan f(x) = 3 + 8*\(\frac{d}{dx}\)\(\sqrt{3-x}\)= 3 + 8*\(\frac{-1}{2\sqrt{3-x}}\)=3 - \(\frac{4}{\sqrt{3-x}}\).
    Setting =0: 3-4/(sqrt{3-x})=0 => 3=4/(sqrt{3-x}) => sqrt{3-x} =4/3 => 3-x=16/9 => x=3-16/9= (27-16)/9=11/9=1.222... Apakah f(11/9)<=0? kita cek:

    f(11/9)=3((11/9)-6)+8 sqrt{3-(11/9)}=3( (11-54)/9 )+8 sqrt( (27-11)/9 )=3( -43/9 )+8 sqrt(16/9)= -129/9 +8*(4/3)= -14.333... +10.666...= -3.666... => <0.

    Sepertinya di seluruh domain -1/2 s/d 3, f(x)<=0. Karena di titik ekstrim masih <0, di ujung domain pun <=0. Artinya \(\sqrt{2x+1} + \sqrt{3-x} \le 4\) terpenuhi untuk semua x di domain.
    Pastikan domain: x di [-1/2, 3].
    Hasil: \(\boxed{[-\tfrac{1}{2}, 3]}\).

Jika Anda merasa beberapa langkah di atas cukup panjang, itu karena manipulasi pertidaksamaan irasional memerlukan ketelitian tinggi. Namun, asalkan kita mengikuti langkah-langkah dengan cermat, terutama dalam menentukan domain, memeriksa tanda, dan melakukan verifikasi ulang terhadap hasil akhir, kita akan mampu menemukan solusi yang tepat.

6. Penutup

Demikian materi lengkap mengenai pertidaksamaan rasional dan irasional satu variabel untuk siswa kelas 10. Kita telah mempelajari berbagai teknik dan langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan, mulai dari menentukan domain, memfaktorkan polinomial, menganalisis tanda pecahan, sampai metode isolasi dan kuadrat berulang untuk ekspresi yang mengandung akar. Dalam mempelajari pertidaksamaan, ketelitian dan sikap hati-hati sangatlah penting, mengingat banyaknya hal-hal teknis yang bisa menimbulkan kesalahan jika tidak dicermati dengan baik.

Harap diingat bahwa pemahaman pertidaksamaan ini tidak hanya berhenti di sini. Di tingkat yang lebih lanjut, kita akan menemukan pertidaksamaan yang jauh lebih kompleks, melibatkan fungsi-fungsi transendental seperti eksponen, logaritma, trigonometri, dan sebagainya. Konsep rasional dan irasional pun dapat meluas ke ranah analisis real dan kompleks. Namun, fondasi yang sudah kita pelajari di kelas 10 ini akan sangat berguna untuk melangkah ke jenjang berikutnya.

Semoga materi ini membantu Anda dalam memahami dan menguasai pertidaksamaan rasional dan irasional. Praktikkan dengan banyak mengerjakan soal agar keterampilan Anda semakin terasah. Jangan ragu untuk bertanya kepada guru, rekan, maupun berdiskusi di forum matematika jika menemui kesulitan dalam proses pembelajaran.

Selamat berlatih dan semoga sukses!

Ekstra Materi: Pendalaman Pertidaksamaan Rasional dan Irasional

Dalam rangka lebih memperkaya pengetahuan dan keterampilan siswa dalam menyelesaikan pertidaksamaan rasional dan irasional, berikut ini disajikan rangkuman, elaborasi lebih lanjut, serta contoh-contoh kasus khusus yang mungkin belum sempat dibahas secara mendalam. Sifat-sifat pertidaksamaan yang berlaku di ranah real pada dasarnya akan terus terbawa ke tahap yang lebih lanjut, baik di kelas 11 atau di perguruan tinggi, namun sering kali konteksnya diperluas pada pemodelan fungsi-fungsi yang lebih kompleks.

Ekstra 1. Pemeriksaan Solusi Ekstran Pada Pertidaksamaan Irasional

Salah satu hal yang paling sering menimbulkan kebingungan (dan kekeliruan) dalam penyelesaian pertidaksamaan irasional adalah munculnya solusi ekstran (penyelesaian palsu) setelah kita melakukan kuadrat kedua ruas. Seperti yang telah dijelaskan, kuadrat merupakan operasi yang tidak selalu dapat dipukul rata pada konteks pertidaksamaan, karena informasi tanda dapat berubah atau menghilang.

Langkah-langkah umum yang harus diingat agar kita dapat meminimalkan munculnya solusi ekstran adalah:

  1. Menentukan domain sebelum melakukan manipulasi. Pastikan nilai yang berada di bawah tanda akar bersifat non-negatif (untuk akar genap).
  2. Isolasi akar (jika memungkinkan), sehingga di satu sisi tersisa ekspresi akar dan di sisi lain tersisa ekspresi lain yang lebih mudah diuji.
  3. Memeriksa kondisi yang memungkinkan kita menguadratkan kedua ruas. Apakah kedua ruas sama-sama non-negatif? Bila sisi kanan (atau kiri) bernilai negatif, maka pertidaksamaan mungkin tidak bisa dipenuhi, atau kita butuh penanganan terpisah.
  4. Menguadratkan kedua ruas dengan hati-hati, lalu menyederhanakan. Jangan lupa membuat catatan bahwa pemecahan yang dihasilkan harus kembali dicek pada persamaan/pertidaksamaan asal.
  5. Memasukkan kembali solusi yang didapat ke pertidaksamaan awal. Hanya solusi yang benar-benar memenuhi pertidaksamaan awal dan domain yang dapat diterima.

Di kelas 10, Anda mungkin masih menghadapi bentuk-bentuk irasional yang relatif sederhana. Namun, semakin tinggi jenjang pendidikannya, kerap kali kita berurusan dengan pertidaksamaan yang memuat lebih dari satu jenis akar, bahkan gabungan fungsi rasional dan irasional. Prinsipnya tetap sama: perhatikan domain, waspadai penentuan tanda, dan selalu lakukan pengecekan solusi di langkah akhir.

Ekstra 2. Menggabungkan Pertidaksamaan Rasional dengan Irasional

Seperti disinggung di atas, ada kalanya sebuah soal pertidaksamaan mencampur bentuk rasional dan irasional. Misalnya:

Contoh: Carilah penyelesaian dari \[ \frac{2x - 1}{x + 2} > \sqrt{x - 1}. \]

Di sini, domain menjadi lebih rumit karena melibatkan dua hal: (a) penyebut \( x + 2 \neq 0 \) \(\implies x \neq -2\), (b) argumen akar \( x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1\). Sehingga domain minimal adalah \(\{ x \mid x \ge 1, x \neq -2 \}\). Jelas, karena 1 > -2, syarat \( x \neq -2 \) sudah tidak relevan di interval \([1, \infty)\). Dengan demikian, domain efektif adalah \( [1, \infty) \).

Kemudian, langkah berikutnya adalah mencoba memindahkan \(\sqrt{x-1}\) ke satu sisi: \[ \frac{2x-1}{x+2} - \sqrt{x-1} > 0. \] Penanganannya bisa dilakukan dengan menyamakan penyebut, atau mengisolasi \(\sqrt{x-1}\) di satu sisi, lalu menguadratkan. Tentu kita harus ekstra waspada agar tidak kehilangan jejak solusi ekstran.

Dari contoh di atas, Anda akan menyadari bahwa setiap kali terdapat gabungan bentuk rasional dan irasional, tantangannya justru menjadi lebih besar karena kita memerlukan ketelitian lebih untuk meninjau domain keseluruhan. Sering kali, lebih mudah menggarisbawahi langkah-langkah kunci dalam bentuk bullet point atau diagram agar tidak tersesat di tengah jalan.

Ekstra 3. Menggunakan Garis Bilangan dan Diagram Tanda yang Lebih Kompleks

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan rasional, kita kerap menggunakan garis bilangan untuk membagi region sesuai dengan titik-titik kritis (pembilang nol, penyebut nol). Pada pertidaksamaan irasional, kita juga sering memakai pendekatan domain plus isolasi dan kuadrat. Nah, bagaimana jika kita menggabungkan keduanya?

Sebenarnya konsepnya masih sama, hanya saja titik kritis kita tambah: (a) titik di mana penyebut nol, (b) titik di mana pembilang nol, (c) titik di mana ekspresi di bawah akar bernilai nol, (d) batas domain sekunder (misalnya batas interval di mana akar tetap real). Setiap titik-titik ini akan membagi sumbu real menjadi interval lebih banyak. Kita harus menguji tanda atau validitas pertidaksamaan di setiap interval. Hal ini dapat memakan waktu, tetapi solusi yang dihasilkan akan lebih sistematis dan pasti terarah.

Ekstra 4. Mengapa Pertidaksamaan Menjadi Penting di Dunia Nyata?

Mungkin Anda bertanya, apa pentingnya mempelajari pertidaksamaan yang sepertinya hanya seputar garis bilangan dan soal-soal latihan? Jawabannya: Pertidaksamaan adalah dasar dari pembatasan (constraints) dalam permasalahan dunia nyata. Misalnya:

Dengan kata lain, pertidaksamaan adalah “bahasa” yang mengungkapkan batasan dalam model matematika. Dan karena matematika adalah fondasi sains dan teknologi, maka memahami pertidaksamaan sejak dini akan menjadi bekal yang sangat kuat di kemudian hari.

Ekstra 5. Perluasan: Pertidaksamaan di Bilangan Kompleks (Sekilas)

Pada jenjang sekolah, kita selalu bekerja di ranah bilangan real. Bagaimana jika kita memasuki ranah bilangan kompleks? Konsep “lebih besar” atau “lebih kecil” tidak lagi dapat diterapkan seperti di real, karena bilangan kompleks tidak memiliki relasi order total seperti bilangan real. Itulah sebabnya pertidaksamaan seperti \((a + bi) < (c + di)\) menjadi tidak bermakna di ranah kompleks. Di sinilah kita menyadari bahwa konsep pertidaksamaan yang dibahas secara ketat hanya relevan dalam himpunan terurut (ordered set), dan \(\mathbb{C}\) (bilangan kompleks) bukan merupakan himpunan terurut.

Artinya, banyak sekali cakupan pertidaksamaan yang di saat ini hanya berlaku di \(\mathbb{R}\). Hal ini mungkin cukup menjadi catatan tambahan agar Anda paham bahwa “lebih besar” dan “lebih kecil” tak selalu bermakna di semua sistem bilangan.

Ekstra 6. Kesalahan Umum (Common Pitfalls)

Berikut adalah daftar kesalahan umum yang sering dilakukan saat menyelesaikan pertidaksamaan rasional dan irasional:

  1. Lupa mengecualikan penyebut nol. Akibatnya, kita bisa memasukkan titik tertentu yang sebetulnya tidak ada dalam domain, sehingga memunculkan solusi tidak valid.
  2. Lupa mengembalikan hasil akhir ke domain semula. Contohnya, setelah menguadratkan, kita mungkin memperoleh himpunan solusi yang luas, padahal domain aslinya terbatas. Solusi yang berada di luar domain seharusnya dibuang.
  3. Terbalik tanda saat mengalikan atau membagi dengan nilai negatif. Ini kesalahan sangat klasik dalam aljabar pertidaksamaan.
  4. Mengabaikan pemeriksaan solusi ekstran setelah kuadrat (dalam pertidaksamaan irasional).
  5. Menyamakan semua situasi tanpa mempertimbangkan interval terpisah pada analisis tanda. Padahal, cara yang paling aman adalah memetakan titik-titik kritis lalu menguji tanda pada setiap interval.

Ekstra 7. Latihan Lanjutan

Latihan 3

Beberapa soal lanjutan (disertai pembahasan) untuk meningkatkan pemahaman dan ketajaman analitis.

  1. Carilah penyelesaian dari pertidaksamaan \[ \frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)(x+4)} \le 0. \]

  2. Tentukan himpunan solusi \[ \sqrt{4x - 4} > x - 1. \]

  3. Buktikan bahwa untuk setiap \(x \in \mathbb{R}\) sedemikian rupa sehingga \(-4 \le x \le 8\), pertidaksamaan \(\sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 4} \ge 6\) selalu benar atau tidak? (Tentukan benar/salah dan tunjukkan pembuktiannya).

Pembahasan Latihan 3

  1. Pertanyaan: Carilah penyelesaian dari pertidaksamaan \[ \frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)(x+4)} \le 0. \]

    Langkah Penyelesaian:

    1. Domain: \((x - 2)(x + 4) \neq 0\) sehingga \(x \neq 2\) dan \(x \neq -4\).
    2. Titik Kritis (pembilang & penyebut = 0):
      • Pembilang nol: \(x - 1 = 0 \implies x = 1\) dan \(x - 3 = 0 \implies x = 3\).
      • Penyebut nol: \(x - 2 = 0 \implies x = 2\) dan \(x + 4 = 0 \implies x = -4\).
      Urutan titik: \(-4\), \(1\), \(2\), \(3\).
    3. Pembagian Interval: \[ (-\infty, -4), \quad (-4, 1), \quad (1, 2), \quad (2, 3), \quad (3, \infty). \]
    4. Analisis Tanda di setiap interval (cek contoh titik di dalamnya):
      • Interval \((-\infty, -4)\): faktor \((x-1)\), \((x-3)\), \((x-2)\), \((x+4)\) semuanya negatif kecuali perlu dicek satu per satu. Dari pengujian, pembilang dan penyebut sama-sama positif atau sama-sama negatif? Hasil akhirnya positif. Tidak memenuhi \(\le 0\).
      • Interval \((-4, 1)\): penyebut < 0 (karena \((x-2)<0, (x+4)>0 \implies\) netral negatif), pembilang > 0 (cek titik, misal \(x=0\), maka \((0-1)(0-3)=3>0\)). Hasil pembilang/penyebut = positif/negatif = negatif. Memenuhi \(\le 0\). Ingat \(x \neq -4\).
      • Interval \((1, 2)\): pembilang < 0, penyebut < 0 → rasio > 0. Tidak memenuhi \(\le 0\).
      • Interval \((2, 3)\): pembilang < 0, penyebut > 0 → rasio < 0. Memenuhi \(\le 0\). \(x \neq 2\).
      • Interval \((3, \infty)\): pembilang > 0, penyebut > 0 → rasio > 0. Tidak memenuhi \(\le 0\).
    5. Nilai Tepat Pembilang = 0: \[ x = 1 \quad \text{dan} \quad x = 3. \] Karena pertidaksamaan \(\le 0\) mengizinkan \(=0\), maka:
      • \(x=1\) valid (tidak bikin penyebut 0).
      • \(x=3\) valid (tidak bikin penyebut 0).
    6. Himpunan Penyelesaian: dari analisis tanda dan titik kritis: \[ (-4,1] \cup (2,3]. \] Dengan catatan \(x \neq -4\) dan \(x \neq 2\).

    Jawaban Soal 1: \(\displaystyle (-4,1] \cup (2,3].\)

  2. Pertanyaan: Tentukan himpunan solusi \[ \sqrt{4x - 4} > x - 1. \]

    Langkah Penyelesaian:

    1. Domain: \(4x - 4 \ge 0 \implies x \ge 1.\)
    2. Perilaku di titik domain terendah \(x=1\): LHS = \(\sqrt{4(1) - 4}=0\), RHS=\(1-1=0\). \(\,0>0\) salah, jadi \(x=1\) tidak termasuk.
    3. Untuk \(x>1\), kuadratkan kedua ruas (karena \(x-1 \ge 0\) di wilayah ini): \[ 4x - 4 > (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1. \] Pindahkan semua ke satu sisi: \[ 0 > x^2 - 6x + 5. \] \[ \implies x^2 - 6x + 5 < 0. \]
    4. Mencari akar kuadrat: \(x^2 - 6x + 5=0\) memiliki akar \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} = \{1, 5\}. \] Karena parabolanya terbuka ke atas, maka \(x^2 - 6x + 5<0\) di antara akar, yaitu \(1
    5. Integrasi Domain: Karena \(x\ge1\) dan dari hasil di atas \(14\) tidak benar, sehingga \(x=5\) tidak termasuk.

    Jawaban Soal 2: \(\displaystyle (1,5).\)

  3. Pertanyaan: Buktikan bahwa untuk setiap \(x \in [-4,8]\), pertidaksamaan \(\sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 4} \ge 6\) selalu benar atau tidak? (Tentukan kebenarannya dan tunjukkan pembuktiannya).

    Langkah Penyelesaian (Analisis):

    1. Definisi Fungsi: Misalkan \(f(x) = \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 4}\). Domain jelas: \(-4 \le x \le 8\) agar kedua akar terdefinisi.
    2. Nilai di Ujung Interval:
      • \(x=-4\): \(f(-4)=\sqrt{8-(-4)}+\sqrt{-4+4}=\sqrt{12}+\sqrt{0}= \sqrt{12}\approx 3.464\), kurang dari 6.
      • \(x=8\): \(f(8)=\sqrt{8-8}+\sqrt{8+4}=\sqrt{0}+\sqrt{12}= \sqrt{12}\approx 3.464\), juga kurang dari 6.
      Sudah tampak di kedua ujung lebih kecil dari 6.
    3. Pemeriksaan Titik Ekstrem di Dalam Interval:
      • Turunan: \[ f'(x)= \frac{d}{dx}(\sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 4}) = -\frac{1}{2\sqrt{8-x}} + \frac{1}{2\sqrt{x+4}}. \] Tetapkan \(f'(x)=0\) untuk mencari titik kritis: \[ -\frac{1}{2\sqrt{8-x}} + \frac{1}{2\sqrt{x+4}}=0 \quad \implies \quad \frac{1}{\sqrt{x+4}}= \frac{1}{\sqrt{8-x}} \quad \implies \quad \sqrt{x+4} = \sqrt{8-x}. \] \[ x+4 = 8-x \quad \implies \quad 2x=4 \quad \implies \quad x=2. \]
      • Pada \(x=2\): \(f(2)=\sqrt{8-2}+\sqrt{2+4}=\sqrt{6}+\sqrt{6}=2\sqrt{6}\approx 4.8989\). Masih di bawah 6.
      Berarti \(\max\) dari \(f(x)\) di interval tersebut sekitar 4.8989 (pada \(x=2\)), yang tetap lebih kecil dari 6.
    4. Kesimpulan: Nilai \(f(x)\) di sepanjang \([-4,8]\) berada di bawah 6 (di ujung sekitar 3.464, di titik puncak sekitar 4.8989). Jadi \(\sqrt{8-x} + \sqrt{x+4} \ge 6\) tidak benar untuk setiap \(x\) dalam interval. Faktanya, yang benar adalah \(\sqrt{8-x} + \sqrt{x+4} < 6\) untuk semua \(-4 \le x \le 8\).

    Jawaban Soal 3: Pernyataan \(\sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 4} \ge 6\) tidak selalu benar. Justru fungsi tersebut selalu < 6 di interval \([-4,8]\).

Dari latihan dan pembahasan lanjutan di atas, semoga Anda semakin terbiasa dengan alur berpikir penyelesaian pertidaksamaan, baik rasional maupun irasional.

Ekstra Materi: Rangkuman Keseluruhan

Sebagai penutup sekaligus rangkuman besar (walau sedikit repetitif), di bawah ini kita satukan poin-poin inti yang wajib Anda ingat ketika berurusan dengan pertidaksamaan rasional dan irasional di kelas 10:


Baca Juga :