Home > Soal > Simulasi Soal Olimpiade Matematika SMA Standar IMO : 2025 (1)

Simulasi Soal Olimpiade Matematika SMA Standar IMO : 2025 (1)

09 Feb 2025 | dibaca 44 kali

Berikut disajikan contoh simulasi soal Olimpiade Matematika tingkat SMA dengan gaya dan standar serupa International Mathematical Olympiad (IMO). Soal-soal ini belum pernah diujikan dan dirancang memiliki tingkat kesulitan menengah-tinggi. Masing-masing soal dilengkapi pembahasan (solusi) yang diupayakan agar mudah dipahami.

SOAL 1 (Fungsi / Persamaan Fungsional)

Soal 1.
Carilah semua fungsi \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) yang memenuhi \[ f(x+y) + f(x-y) = 2f(x) + 2y^2 \quad \text{untuk semua } x,y \in \mathbb{R}. \]

Pembahasan Soal 1

  1. Langkah awal:
    Persamaan fungsional ini menampilkan kemunculan \(y^2\), sehingga kita mencurigai bentuk kuadratik. Kita bisa menebak \( f(x) = Ax^2 + Bx + C \), namun sebelum itu kita lakukan uji substitusi dasar.
  2. Substitusi sederhana:
    • Substitusi \( y=0 \):
      \[ f(x+0) + f(x-0) = 2f(x) + 2 \cdot 0^2 \implies f(x) + f(x) = 2f(x). \] Tidak memberi info baru.
    • Substitusi \( x=0 \):
      \[ f(y) + f(-y) = 2f(0) + 2y^2. \] Menunjukkan bahwa \( f(y) + f(-y) \) berbentuk kuadratik dalam \( y \).
    • Substitusi \( y = x \):
      \[ f(2x) + f(0) = 2f(x) + 2x^2 \;\;\Rightarrow\;\; f(2x) = 2f(x) + 2x^2 - f(0). \]
  3. Menebak bentuk dan verifikasi:
    Coba \( f(x) = Ax^2 + Bx + C \). Hitung: \[ f(x+y) = A(x+y)^2 + B(x+y) + C, \quad f(x-y) = A(x-y)^2 + B(x-y) + C. \] Jika dijumlahkan: \[ f(x+y) + f(x-y) = 2Ax^2 + 2Ay^2 + 2Bx + 2C. \] Sementara: \[ 2f(x) + 2y^2 = 2(Ax^2 + Bx + C) + 2y^2 = 2Ax^2 + 2Bx + 2C + 2y^2. \] Supaya sama untuk semua \( x,y \), diperlukan \( 2A = 2 \) \(\Rightarrow\) \( A = 1 \). Sehingga \[ f(x) = x^2 + Bx + C \] cocok untuk sembarang \( B,C \).
  4. Kesimpulan:
    Semua solusi adalah \[ \boxed{f(x) = x^2 + Bx + C \;\text{ untuk sembarang } B,C \in \mathbb{R}.} \]

SOAL 2 (Teori Bilangan)

Soal 2.
Buktikan bahwa tidak ada pasangan \((n, k)\) bilangan asli dengan \( n > 1 \) dan \( k > 1 \) sehingga \[ n^3 - n = 3^k. \]

Pembahasan Soal 2

  1. Faktorisasi dasar:
    \[ n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1). \] Jika ini sama dengan \( 3^k \), maka \( n(n-1)(n+1) \) adalah pangkat murni 3.
  2. Tiga bilangan berurutan:
    \(n-1\), \(n\), dan \(n+1\) adalah tiga bilangan bulat berurutan. Hanya satu di antaranya yang kelipatan 3.
  3. Analisis kasus:
    • Kasus 1: \( n \equiv 0 \pmod{3} \). Maka \( n = 3m \). Produk: \( 3m(3m-1)(3m+1) \). Agar sama dengan \( 3^k \), maka \( (3m-1) \) dan \( (3m+1) \) juga pangkat 3. Namun keduanya berbeda 2, hal ini mustahil (kecuali 1 dan 3, tidak cocok untuk \( m\ge1 \)).
    • Kasus 2: \( n-1 \equiv 0 \pmod{3} \). Maka \( n = 3m + 1 \). Produk: \( (3m)(3m+1)(3m+2) \). Lagi-lagi tidak bisa semuanya pangkat 3.
    • Kasus 3: \( n+1 \equiv 0 \pmod{3} \). Serupa alasan di atas.
  4. Pengecekan contoh kecil:
    \( n=2 \implies 2\cdot1\cdot3=6 \) (bukan \(3^k\)), \( n=3 \implies 3\cdot2\cdot4=24 \), dsb.
  5. Kesimpulan:
    \[ \boxed{\text{Tidak terdapat }(n,k)\text{ dengan }n>1,k>1\text{ sehingga }n^3-n = 3^k.} \]

SOAL 3 (Geometri Euclides)

Soal 3.
Diberikan segitiga siku-siku \(\triangle ABC\) dengan \(\angle A = 90^\circ\). Misalkan:

Tarik garis \( AY \) dan \( CX \), berpotongan di titik \( P \). Tarik juga garis \( BX \) dan \( CY \), berpotongan di titik \( Q \). Buktikan bahwa ketiga garis \( PQ \), \( AX \), dan garis melalui \( B \) dan \( Z \) bertemu di satu titik.

Pembahasan (Sketsa)

  1. Tempatkan \( A=(0,0) \), \( B=(b,0) \), \( C=(0,c) \). Koordinat \( X, Y, Z \) mudah didapat (titik tengah). Cari persamaan garis, lalu titik potongnya => concurrency.
  2. Alternatif: gunakan Teorema Ceva dalam segitiga, dengan rasio segmen pada titik tengah.
  3. Hasilnya: terdapat titik (sebut saja \( R \)) tempat \( PQ \), \( AX \), dan \( BZ \) bersekutu.

SOAL 4 (Kombinatorika Geometri)

Soal 4.
Diberikan \( 2n+1 \) titik pada keliling sebuah lingkaran. Kita pilih beberapa (lebih dari tiga) titik tersebut dan hubungkan secara berurutan, membentuk poligon cembung. Tunjukkan bahwa selalu terdapat suatu segitiga (tiga titik poligon) yang memuat setidaknya \( n \) titik lingkaran (yang bukan simpul segitiga itu) di bagian dalam segitiga (bukan di tepi).

Pembahasan (Sketsa)

  1. Ide umum (pigeonhole): Kita pertimbangkan semua segitiga yang dibentuk oleh simpul-simpul poligon. Masing-masing segitiga akan menampung (di interiornya) sejumlah titik lain dari lingkaran.
  2. Counting: Jika semua segitiga menampung kurang dari \( n \), maka total “kumulatif” penampungan akan terlalu kecil, memunculkan kontradiksi karena jumlah titik keseluruhan adalah \( 2n+1 \).
  3. Kesimpulan: Pasti ada segitiga yang memuat sedikitnya \( n \) titik lain di bagian dalamnya.

SOAL 5 (Ketaksamaan / Inequality)

Soal 5.
Misalkan \( a,b,c \ge 0 \) dan \( a+b+c = 3 \). Buktikan bahwa \[ \frac{1}{\sqrt{2a+1}} + \frac{1}{\sqrt{2b+1}} + \frac{1}{\sqrt{2c+1}} \;\;\ge\;\;\frac{3}{\sqrt{3}}. \]

Pembahasan (Sketsa)

  1. Observasi nilai ekstrem:
    - Jika \( a=b=c=1 \), maka \[ LHS = 3 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} = \frac{3}{\sqrt{3}}. \]
    - Jika \( a=3, b=c=0 \), \[ LHS = \frac{1}{\sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{1}} \approx 2.377, \] masih lebih besar daripada \( \sqrt{3} \approx 1.732. \)
  2. Metode pembuktian:
    Biasanya memakai ketaksamaan Jensen (\( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}} \) bisa diperiksa cekung), atau via manipulasi Cauchy-Schwarz. Nilai minimum tercapai saat \( a=b=c=1 \).
  3. Kesimpulan: \[ \boxed{ \sum_{cyc} \frac{1}{\sqrt{2a+1}} \;\ge\; \frac{3}{\sqrt{3}}, \quad \text{kestaraan jika }a=b=c=1. } \]

SOAL 6 (Kombinatorika / Teori Graf / Ramsey Sederhana)

Soal 6.
Dalam suatu perkumpulan beranggotakan 10 orang, diketahui bahwa setiap orang mengenal (berteman) sedikitnya 6 orang lainnya. Buktikan bahwa di antara mereka terdapat 4 orang yang saling mengenal satu sama lain (membentuk klik berukuran 4).

Pembahasan (Sketsa)

  1. Model graf: 10 simpul, setiap simpul berderajat minimal 6. “Mengenal” = sisi.
  2. Tujuan: Menemukan subgraf lengkap \(K_4\).
  3. Pendekatan: - Derajat minimum 6 di graf 10 simpul “padat” sehingga nyaris pasti memuat \(K_4\). - Pendekatan Turán / Argumen tetangga / Teori Ramsey sederhana.
  4. Kesimpulan: \[ \boxed{\text{Terdapat }K_4\text{, empat orang saling berteman.}} \]

Penutup

Enam soal di atas mencakup berbagai ranah klasik Olimpiade Matematika:


Baca Juga :