Simulasi Contoh Soal Olimpiade Fisika OSN SMA : 2025 (2)

Misalkan balok bermassa $m$ berada di atas bidang miring dengan sudut $\theta$. Beban yang tergantung memiliki massa $M$. Karena bidang miring licin, tidak ada gaya gesek yang bekerja pada balok.

Persamaan gerak untuk balok di atas bidang miring: $$ma=mg\sin \theta -T.$$ Persamaan gerak untuk beban: $$Ma=T-Mg.$$

Menjumlahkan kedua persamaan: $$ma+Ma=mg\sin \theta -T+T-Mg$$ $$(m+M)a=mg\sin \theta -Mg$$ $$a=\frac{mg\sin \theta -Mg}{m+M}=g\frac{m\sin \theta -M}{m+M}.$$

Untuk tegangan tali, substitusikan $a$ ke salah satu persamaan, misalnya untuk beban: $$T-Mg=Ma⟹T=Mg+Ma$$ $$T=Mg+M\left(g\frac{m\sin \theta -M}{m+M}\right)$$ $$T=Mg+\frac{M(m\sin \theta -M)g}{m+M}.$$

Sederhanakan lebih lanjut sesuai kebutuhan. Hasil di atas menunjukkan percepatan sistem dan tegangan tali dalam bentuk aljabar.

Untuk mencapai puncak tanpa kembali turun, energi kinetik awal total (translasi + rotasi) harus sama dengan energi potensial gravitasi pada ketinggian $h$.

Energi kinetik silinder pejal yang menggelinding tanpa slip: $$E_k=\frac{1}{2}M{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2.$$ Dengan $\omega =\frac{v}{R}$ dan $I=\frac{1}{2}M{R}^2$, maka: $$E_k=\frac{1}{2}M{v}^2+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}M{R}^2\right){\left(\frac{v}{R}\right)}^2=\frac{1}{2}M{v}^2+\frac{1}{4}M{v}^2=\frac{3}{4}M{v}^2.$$

Energi potensial di puncak ketinggian $h$: $$E_p=Mgh.$$

Syarat tanpa kembali turun: $$\frac{3}{4}M{v}^2=Mgh⟹v^2=\frac{4}{3}gh⟹v=\sqrt{\frac{4}{3}gh}.$$

Jadi kecepatan minimum yang dibutuhkan di bidang datar adalah $v_{min}=\sqrt{\frac{4}{3}gh}$.

Gas ideal monoatomik mengalami tiga proses: isotermik, isobarik, dan isokhorik. Misalkan keadaan awal: $(P_0,V_0,T_0)$.

1. Proses isotermik (T = konstan):
   Usaha proses isotermik: $$W_{iso}=nR{T}_0\ln \left(\frac{V_1}{V_0}\right).$$ Karena $T$ konstan, $\mathrm{\Delta }U=0$, sehingga $Q_{iso}=W_{iso}$.
2. Proses isobarik (P = konstan):
   Usaha proses isobarik: $$W_{isoP}=P_1\mathrm{\Delta }V.$$ Kalor pada proses isobarik untuk gas monoatomik: $$Q_{isoP}=n{C}_p\mathrm{\Delta }T=\frac{5}{2}nR\mathrm{\Delta }T.$$ Perubahan energi dalam: $$\mathrm{\Delta }{U}_{isoP}=\frac{3}{2}nR\mathrm{\Delta }T.$$
3. Proses isokhorik (V = konstan):
   Usaha $W_{isoV}=0$.
   Kalor: $$Q_{isoV}=n{C}_V\mathrm{\Delta }T=\frac{3}{2}nR\mathrm{\Delta }T.$$ Perubahan energi dalam sama dengan kalor, $\mathrm{\Delta }{U}_{isoV}=Q_{isoV}$.

Namun, soal menyatakan sistem kembali ke keadaan awal. Artinya, secara total: $$\mathrm{\Delta }{U}_{\text{total}}=0.$$ Karena energi dalam hanya bergantung pada suhu, dan suhu akhirnya sama dengan $T_0$.

Dengan loop tertutup, kita dapat menyimpulkan: $$W_{\text{total}}+Q_{\text{total}}=\mathrm{\Delta }{U}_{\text{total}}=0⟹Q_{\text{total}}=-W_{\text{total}}.$$ Untuk detail numerik bergantung pada rincian volume akhir tiap proses. Tetapi secara umum:

• Usaha total dapat dihitung dari diagram PV loop. Biasanya area di dalam grafik PV.
• Kalor total adalah negatif dari usaha total.
• $\mathrm{\Delta }{U}_{\text{total}}=0$ karena kembali ke kondisi semula.

Tanpa data detail perubahan volume/tekanan tiap proses, bentuk akhir jawaban lebih kualitatif:
Usaha total adalah luas daerah di bawah kurva proses dalam diagram P-V, kalor total sama dengan $-W_{\text{total}}$, dan perubahan energi dalam total nol.

Pada rangkaian RLC seri berarus bolak-balik:
Impedansi: $$Z=\sqrt{R^2+{(X_L-X_C)}^2}$$ dengan $X_L=\omega L$ dan $X_C=\frac{1}{\omega C}$.

Pada frekuensi resonansi, $\omega L=\frac{1}{\omega C}$ atau $${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.$$ Maka impedansi $Z=R$, sehingga arus maksimum adalah $$I_{max}=\frac{V_0}{R}.$$

Tegangan pada induktor: $V_L=I_{max}{\omega }_{0}L$. Tegangan pada kapasitor: $V_C=\frac{I_{max}}{{\omega }_{0}C}$. Meski $V_L$ dan $V_C$ dapat sangat besar, keduanya saling berlawanan fasa sehingga resultannya hanya $V_0$ (yang terbatas).

Faktor kualitas (Quality Factor) untuk RLC seri: $$Q=\frac{{\omega }_{0}L}{R}=\frac{1}{{\omega }_{0}CR}.$$ Semakin besar $Q$, semakin besar tegangan yang dapat terjadi pada komponen induktif/kapasitif pada kondisi resonansi.

Muatan titik $q$ diletakkan di pusat bola konduktor berongga dengan jari-jari dalam $a$ dan jari-jari luar $b$. Pada keadaan tunak, muatan di permukaan bagian dalam akan berjumlah $-q$ (terdistribusi merata pada permukaan dalam), dan muatan di permukaan luar akan berjumlah $+q$ (jika bola sebelumnya netral).

Untuk medan listrik:

• Region $r<a$: (di dalam bola, tetapi belum mencapai cangkang) $$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2},\text{(hanya muatan pusat }q\text{)}$$
• Region $a<r<b$: (dalam materi konduktor) $$E=0,\text{(medan di dalam konduktor ideal nol)}$$
• Region $r>b$: (di luar bola) $$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2},\text{(muatan total efektif di pusat, sebesar }q\text{)}$$

Pola interferensi celah ganda dengan jarak antar celah $d$ dan panjang gelombang $\lambda$, posisi garis terang ke-m di layar (berjarak $L$ dari celah) diberikan oleh: $$y_m=\frac{m\lambda L}{d}.$$ Sudut ${\theta }_m$ aproksimasi kecil: $${\theta }_m\approx \sin {\theta }_m=\frac{m\lambda }{d}.$$

Jika intensitas turun menjadi setengah pada garis terang ke-5, itu berkaitan dengan perbedaan fase tambahan yang menyebabkan hasil superposisi kurang dari maksimal. Dengan perbedaan fase $\delta$: $$I=I_{max}{\cos }^2\left(\frac{\delta }{2}\right)=\frac{1}{2}{I}_{max}.$$ Sehingga $${\cos }^2\left(\frac{\delta }{2}\right)=\frac{1}{2}⟹\cos \left(\frac{\delta }{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}⟹\frac{\delta }{2}=\frac{\pi }{4}⟹\delta =\frac{\pi }{2}.$$

Hubungan perbedaan fase $\delta$ dengan $\theta$ (atau posisi di layar) ditentukan oleh selisih lintasan $\mathrm{\Delta }=d\sin \theta$. Dengan $$\delta =\frac{2\pi }{\lambda }\mathrm{\Delta },$$ maka $$\frac{2\pi }{\lambda }(d\sin \theta )=\frac{\pi }{2}⟹d\sin \theta =\frac{\lambda }{4}.$$ Untuk garis terang ke-5 (yang idealnya $\sin {\theta }_5=\frac{5\lambda }{d}$), penurunan intensitas setengah berarti adanya koreksi fase kecil.

Jarak terang ke-5: $$y_5=\frac{5\lambda L}{d}.$$ Persisnya, jika sudut ${\theta }_5$ tidak terlalu besar, ini perkiraan posisinya pada layar.

Untuk dawai panjang $L$ dengan satu ujung terikat dan ujung lain bebas, kondisi batasnya berbeda dengan dua ujung terikat. Mode normal memenuhi:

• Ujung terikat: simpul (displacement = 0).
• Ujung bebas: perut (turunan pertama displacement = 0 atau tegangan = 0).

Frekuensi natural (moda ke-n) untuk satu ujung terikat dan satu ujung bebas: $$f_n=\frac{(2n+1)v}{4L},n=0,1,2,\dots$$ Persamaan gelombang stasioner (modus ke-n) dapat ditulis sebagai: $$y_n(x,t)=A\sin \left(\frac{(2n+1)\pi x}{2L}\right)\cos ({\omega }_{n}t),$$ dengan ${\omega }_n=2\pi f_n$ dan $v=\frac{\omega }{k}$.

Pada efek fotolistrik, energi foton: $$E_f=\frac{hc}{\lambda }.$$ Fungsi kerja logam: $\varphi$. Energi kinetik maksimum elektron yang terlepas: $$K_{max}=E_f-\varphi =\frac{hc}{\lambda }-\varphi .$$

Kecepatan maksimum elektron: $$K_{max}=\frac{1}{2}{m}_e{v}_{max}^2⟹v_{max}=\sqrt{\frac{2K_{max}}{m_e}}.$$ Frekuensi ambang ${\nu }_0$ ketika elektron mulai terlepas ($K_{max}=0$): $$h{\nu }_0=\varphi ⟹{\nu }_0=\frac{\varphi }{h}.$$

Misalkan dua bintang bermassa $M$ dan $4M$. Pusat massa sistem berada di antara keduanya. Jika $r_1$ adalah jarak bintang bermassa $M$ ke pusat massa, dan $r_2$ jarak bintang bermassa $4M$ ke pusat massa, maka: $$M{r}_1=4M{r}_2⟹r_1=4r_2.$$

Jarak total antar bintang: $r_{\text{total}}=r_1+r_2=4r_2+r_2=5r_2⟹r_2=\frac{r_{\text{total}}}{5},r_1=\frac{4r_{\text{total}}}{5}.$

Gaya gravitasi menyediakan gaya sentripetal untuk masing-masing bintang. Untuk bintang massa $M$: $$\frac{G(M)(4M)}{(r_{\text{total}}{)}^2}=M{r}_1{\omega }^2.$$ Sehingga $$G(4M)=r_1{\omega }^2(r_{\text{total}}{)}^2.$$

Masukkan $r_1=\frac{4}{5}{r}_{\text{total}}$: $$G(4M)=\left(\frac{4}{5}{r}_{\text{total}}\right){\omega }^2(r_{\text{total}}{)}^2=\frac{4}{5}(r_{\text{total}}{)}^3{\omega }^2.$$ $${\omega }^2=\frac{5G(4M)}{4(r_{\text{total}}{)}^3}=\frac{5G(4M)}{4(r_{\text{total}}{)}^3}.$$

Dengan demikian, $\omega =\sqrt{\frac{5G(4M)}{4r_{\text{total}}^3}}$. Pendekatan serupa dapat dilakukan untuk bintang bermassa $4M$, hasilnya konsisten.

1) Periode orbit satelit pada orbit melingkar ketinggian $h$:
Jari-jari orbit $R=R_B+h$. Gaya sentripetal disediakan oleh gaya gravitasi: $$\frac{G{M}_{B}m}{R^2}=m\frac{v^2}{R}.$$ $$v=\sqrt{\frac{G{M}_B}{R}}.$$ Periode orbit: $$T=\frac{2\pi R}{v}=2\pi \sqrt{\frac{R^3}{G{M}_B}}.$$

2) Efek relativistik (time dilation) sederhana karena kecepatan $v$: $$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\mathrm{\Delta }t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\approx \mathrm{\Delta }t(1-\frac{v^2}{2c^2}),$$ untuk $\frac{v}{c}$ sangat kecil. Fraksi perubahan waktu: $$\frac{\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }-\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }t}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-1\approx -\frac{v^2}{2c^2}.$$ Artinya, jam di satelit berjalan lebih lambat sedikit dibandingkan jam di permukaan Bumi (jika hanya memperhitungkan efek kecepatan).