Simulasi Contoh Soal Olimpiade Fisika OSN SMA : 2025 (2)

Misalkan balok bermassa \(m\) berada di atas bidang miring dengan sudut \(\theta\). Beban yang tergantung memiliki massa \(M\). Karena bidang miring licin, tidak ada gaya gesek yang bekerja pada balok.

Persamaan gerak untuk balok di atas bidang miring: $$ m a = m g \sin \theta - T. $$ Persamaan gerak untuk beban: $$ M a = T - M g. $$

Menjumlahkan kedua persamaan: $$ m a + M a = m g \sin \theta - T + T - M g $$ $$ (m + M) a = m g \sin \theta - M g $$ $$ a = \frac{m g \sin \theta - M g}{m + M} = g \frac{m \sin \theta - M}{m + M}. $$

Untuk tegangan tali, substitusikan \(a\) ke salah satu persamaan, misalnya untuk beban: $$ T - M g = M a \implies T = M g + M a $$ $$ T = M g + M \left(g \frac{m \sin \theta - M}{m + M}\right) $$ $$ T = M g + \frac{M (m \sin \theta - M) g}{m + M}. $$

Sederhanakan lebih lanjut sesuai kebutuhan. Hasil di atas menunjukkan percepatan sistem dan tegangan tali dalam bentuk aljabar.

Untuk mencapai puncak tanpa kembali turun, energi kinetik awal total (translasi + rotasi) harus sama dengan energi potensial gravitasi pada ketinggian \(h\).

Energi kinetik silinder pejal yang menggelinding tanpa slip: $$ E_k = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2. $$ Dengan \(\omega = \frac{v}{R}\) dan \(I = \frac{1}{2} M R^2\), maka: $$ E_k = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} M R^2\right) \left(\frac{v}{R}\right)^2 = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{4} M v^2 = \frac{3}{4} M v^2. $$

Energi potensial di puncak ketinggian \(h\): $$ E_p = M g h. $$

Syarat tanpa kembali turun: $$ \frac{3}{4} M v^2 = M g h \implies v^2 = \frac{4}{3} g h \implies v = \sqrt{\frac{4}{3} g h}. $$

Jadi kecepatan minimum yang dibutuhkan di bidang datar adalah \( v_{\min} = \sqrt{\frac{4}{3} g h} \).

Gas ideal monoatomik mengalami tiga proses: isotermik, isobarik, dan isokhorik. Misalkan keadaan awal: \((P_0, V_0, T_0)\).

1. Proses isotermik (T = konstan):
   Usaha proses isotermik: $$ W_{iso} = n R T_0 \ln\left(\frac{V_1}{V_0}\right). $$ Karena \(T\) konstan, \(\Delta U = 0\), sehingga \(Q_{iso} = W_{iso}\).
2. Proses isobarik (P = konstan):
   Usaha proses isobarik: $$ W_{isoP} = P_1 \Delta V. $$ Kalor pada proses isobarik untuk gas monoatomik: $$ Q_{isoP} = n C_p \Delta T = \frac{5}{2} n R \Delta T. $$ Perubahan energi dalam: $$ \Delta U_{isoP} = \frac{3}{2} n R \Delta T. $$
3. Proses isokhorik (V = konstan):
   Usaha \(W_{isoV} = 0\).
   Kalor: $$ Q_{isoV} = n C_V \Delta T = \frac{3}{2} n R \Delta T. $$ Perubahan energi dalam sama dengan kalor, \(\Delta U_{isoV} = Q_{isoV}\).

Namun, soal menyatakan sistem kembali ke keadaan awal. Artinya, secara total: \[ \Delta U_{\text{total}} = 0. \] Karena energi dalam hanya bergantung pada suhu, dan suhu akhirnya sama dengan \(T_0\).

Dengan loop tertutup, kita dapat menyimpulkan: \[ W_{\text{total}} + Q_{\text{total}} = \Delta U_{\text{total}} = 0 \implies Q_{\text{total}} = -W_{\text{total}}. \] Untuk detail numerik bergantung pada rincian volume akhir tiap proses. Tetapi secara umum:

• Usaha total dapat dihitung dari diagram PV loop. Biasanya area di dalam grafik PV.
• Kalor total adalah negatif dari usaha total.
• \(\Delta U_{\text{total}} = 0\) karena kembali ke kondisi semula.

Tanpa data detail perubahan volume/tekanan tiap proses, bentuk akhir jawaban lebih kualitatif:
Usaha total adalah luas daerah di bawah kurva proses dalam diagram P-V, kalor total sama dengan \(-W_{\text{total}}\), dan perubahan energi dalam total nol.

Pada rangkaian RLC seri berarus bolak-balik:
Impedansi: $$ Z = \sqrt{R^2 + \left(X_L - X_C\right)^2} $$ dengan \(X_L = \omega L\) dan \(X_C = \frac{1}{\omega C}\).

Pada frekuensi resonansi, \(\omega L = \frac{1}{\omega C}\) atau $$ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}. $$ Maka impedansi \(Z = R\), sehingga arus maksimum adalah $$ I_{\max} = \frac{V_0}{R}. $$

Tegangan pada induktor: \(V_L = I_{\max} \omega_0 L\). Tegangan pada kapasitor: \(V_C = \frac{I_{\max}}{\omega_0 C}\). Meski \(V_L\) dan \(V_C\) dapat sangat besar, keduanya saling berlawanan fasa sehingga resultannya hanya \(V_0\) (yang terbatas).

Faktor kualitas (Quality Factor) untuk RLC seri: $$ Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 C R}. $$ Semakin besar \(Q\), semakin besar tegangan yang dapat terjadi pada komponen induktif/kapasitif pada kondisi resonansi.

Muatan titik \(q\) diletakkan di pusat bola konduktor berongga dengan jari-jari dalam \(a\) dan jari-jari luar \(b\). Pada keadaan tunak, muatan di permukaan bagian dalam akan berjumlah \(-q\) (terdistribusi merata pada permukaan dalam), dan muatan di permukaan luar akan berjumlah \(+q\) (jika bola sebelumnya netral).

Untuk medan listrik:

• Region \(r < a\): (di dalam bola, tetapi belum mencapai cangkang) $$ E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2}, \quad \text{(hanya muatan pusat \(q\))} $$
• Region \(a < r < b\): (dalam materi konduktor) $$ E = 0, \quad \text{(medan di dalam konduktor ideal nol)} $$
• Region \(r > b\): (di luar bola) $$ E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2}, \quad \text{(muatan total efektif di pusat, sebesar \(q\))} $$

Pola interferensi celah ganda dengan jarak antar celah \(d\) dan panjang gelombang \(\lambda\), posisi garis terang ke-m di layar (berjarak \(L\) dari celah) diberikan oleh: $$ y_m = \frac{m \lambda L}{d}. $$ Sudut \(\theta_m\) aproksimasi kecil: $$ \theta_m \approx \sin \theta_m = \frac{m \lambda}{d}. $$

Jika intensitas turun menjadi setengah pada garis terang ke-5, itu berkaitan dengan perbedaan fase tambahan yang menyebabkan hasil superposisi kurang dari maksimal. Dengan perbedaan fase \(\delta\): $$ I = I_{\max} \cos^2\left(\frac{\delta}{2}\right) = \frac{1}{2} I_{\max}. $$ Sehingga $$ \cos^2\left(\frac{\delta}{2}\right) = \frac{1}{2} \implies \cos\left(\frac{\delta}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \frac{\delta}{2} = \frac{\pi}{4} \implies \delta = \frac{\pi}{2}. $$

Hubungan perbedaan fase \(\delta\) dengan \(\theta\) (atau posisi di layar) ditentukan oleh selisih lintasan \(\Delta = d \sin \theta\). Dengan $$ \delta = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta, $$ maka $$ \frac{2\pi}{\lambda} (d \sin \theta) = \frac{\pi}{2} \implies d \sin \theta = \frac{\lambda}{4}. $$ Untuk garis terang ke-5 (yang idealnya \(\sin \theta_5 = \frac{5\lambda}{d}\)), penurunan intensitas setengah berarti adanya koreksi fase kecil.

Jarak terang ke-5: $$ y_5 = \frac{5 \lambda L}{d}. $$ Persisnya, jika sudut \(\theta_5\) tidak terlalu besar, ini perkiraan posisinya pada layar.

Untuk dawai panjang \(L\) dengan satu ujung terikat dan ujung lain bebas, kondisi batasnya berbeda dengan dua ujung terikat. Mode normal memenuhi:

• Ujung terikat: simpul (displacement = 0).
• Ujung bebas: perut (turunan pertama displacement = 0 atau tegangan = 0).

Frekuensi natural (moda ke-n) untuk satu ujung terikat dan satu ujung bebas: $$ f_n = \frac{(2n+1)v}{4L}, \quad n = 0, 1, 2, \dots $$ Persamaan gelombang stasioner (modus ke-n) dapat ditulis sebagai: $$ y_n(x,t) = A \sin\left(\frac{(2n+1)\pi x}{2L}\right) \cos(\omega_n t), $$ dengan \(\omega_n = 2\pi f_n\) dan \(v = \frac{\omega}{k}\).

Pada efek fotolistrik, energi foton: $$ E_f = \frac{hc}{\lambda}. $$ Fungsi kerja logam: \(\phi\). Energi kinetik maksimum elektron yang terlepas: $$ K_{\max} = E_f - \phi = \frac{hc}{\lambda} - \phi. $$

Kecepatan maksimum elektron: $$ K_{\max} = \frac{1}{2} m_e v_{\max}^2 \implies v_{\max} = \sqrt{\frac{2K_{\max}}{m_e}}. $$ Frekuensi ambang \(\nu_0\) ketika elektron mulai terlepas (\(K_{\max}=0\)): $$ h \nu_0 = \phi \implies \nu_0 = \frac{\phi}{h}. $$

Misalkan dua bintang bermassa \(M\) dan \(4M\). Pusat massa sistem berada di antara keduanya. Jika \(r_1\) adalah jarak bintang bermassa \(M\) ke pusat massa, dan \(r_2\) jarak bintang bermassa \(4M\) ke pusat massa, maka: $$ M \, r_1 = 4M \, r_2 \implies r_1 = 4 r_2. $$

Jarak total antar bintang: \(r_{\text{total}} = r_1 + r_2 = 4r_2 + r_2 = 5r_2 \implies r_2 = \frac{r_{\text{total}}}{5}, \, r_1 = \frac{4r_{\text{total}}}{5}.\)

Gaya gravitasi menyediakan gaya sentripetal untuk masing-masing bintang. Untuk bintang massa \(M\): $$ \frac{G (M)(4M)}{(r_{\text{total}})^2} = M r_1 \omega^2. $$ Sehingga $$ G (4M) = r_1 \omega^2 (r_{\text{total}})^2. $$

Masukkan \(r_1 = \frac{4}{5}r_{\text{total}}\): $$ G(4M) = \left(\frac{4}{5}r_{\text{total}}\right) \omega^2 (r_{\text{total}})^2 = \frac{4}{5} (r_{\text{total}})^3 \omega^2. $$ $$ \omega^2 = \frac{5 G (4M)}{4 (r_{\text{total}})^3} = \frac{5 G (4M)}{4 (r_{\text{total}})^3}. $$

Dengan demikian, \(\omega = \sqrt{\frac{5 G (4M)}{4 r_{\text{total}}^3}}\). Pendekatan serupa dapat dilakukan untuk bintang bermassa \(4M\), hasilnya konsisten.

1) Periode orbit satelit pada orbit melingkar ketinggian \(h\):
Jari-jari orbit \(R = R_B + h\). Gaya sentripetal disediakan oleh gaya gravitasi: $$ \frac{G M_B m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}. $$ $$ v = \sqrt{\frac{G M_B}{R}}. $$ Periode orbit: $$ T = \frac{2\pi R}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{G M_B}}. $$

2) Efek relativistik (time dilation) sederhana karena kecepatan \(v\): $$ \Delta t' = \Delta t \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \approx \Delta t \left(1 - \frac{v^2}{2c^2}\right), $$ untuk \(\frac{v}{c}\) sangat kecil. Fraksi perubahan waktu: $$ \frac{\Delta t' - \Delta t}{\Delta t} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} - 1 \approx -\frac{v^2}{2c^2}. $$ Artinya, jam di satelit berjalan lebih lambat sedikit dibandingkan jam di permukaan Bumi (jika hanya memperhitungkan efek kecepatan).