Simulasi Soal Olimpiade Matematika SMA Standar IMO : 2025 (2)

Pembahasan Soal 1

Soal: Diberikan segitiga ABC dengan pusat lingkaran luar O. Titik D, E, dan F adalah kaki tinggi dari A, B, dan C. Garis AD dan BE berpotongan di H. Buktikan:

1. H adalah orthocenter segitiga ABC.
2. Garis OH tegak lurus garis EF.

Langkah Penyelesaian:

1. Menunjukkan H orthocenter
   • Orthocenter adalah titik perpotongan ketiga garis tinggi. Kita ketahui AD dan BE berpotongan di H.
   • Untuk memastikan H adalah orthocenter, tunjukkan bahwa CH juga tegak lurus AB. Argumennya: jika dua garis tinggi sudah diketahui berpotongan di satu titik, maka garis tinggi ketiga juga melewati titik tersebut (bisa dibuktikan via argumen sudut/luas).
2. Menunjukkan OH ⊥ EF
   • O adalah pusat lingkaran luar: OA = OB = OC.
   • Dikenal sifat segitiga orthic: garis OH tegak lurus garis yang menghubungkan dua kaki tinggi (di sini EF), sering disebut sebagai konsekuensi teorema Euler atau sifat-sifat lain orthocenter.
   • Pembuktian detail dapat memakai pendekatan vektor, sirkumferens, ataupun transformasi cermin. Hasilnya: OH ⊥ EF.

Pembahasan Soal 2

Soal: Carilah semua pasangan (x, y) bilangan bulat positif yang memenuhi $$ x^3 - y^3 = 2(x - y). $$

Ide Awal:
Persamaan dapat ditulis: $$(x - y)\bigl(x^2 + xy + y^2\bigr) = 2(x - y).$$
Jika $x \neq y$, kita dapat membagi kedua ruas dengan $(x - y)$, sehingga $$x^2 + xy + y^2 = 2.$$

Kasus 1: \(x \neq y\)

Dari \(x^2 + xy + y^2 = 2\), dan \(x,y\) positif, kita tahu \(x^2 + xy + y^2 \ge 3\) (jika \(x,y \ge 1\)). Ini kontradiksi, sehingga tidak ada solusi untuk \(x \neq y\).

Kasus 2: \(x = y\)

Substitusi \(x = y\) ke \(x^3 - y^3 = 2(x - y)\) menghasilkan $$0 = 0,$$ yang valid. Artinya, semua pasangan \((x,x)\) dengan \(x\) bilangan bulat positif merupakan solusi.
Maka solusinya adalah $$\bigl\{(x,y)\mid x = y,\; x,y \in \mathbb{Z}^+\bigr\}.$$

Pembahasan Soal 3

Soal: Pada papan \(11 \times 11\) yang diwarnai dua warna, buktikan selalu terdapat persegi \(2 \times 2\) dengan keempat kotak sama warna. Selain itu, tentukan ukuran papan terkecil yang menjamin hasil serupa.

Sketsa Pembuktian:

1. Papan \(11 \times 11\) memiliki \(10 \times 10 = 100\) persegi \(2 \times 2\). Dengan dua pewarnaan (hitam dan putih), gunakan prinsip keseragaman atau argumen Ramsey Theory. Untuk papan sebesar itu, mustahil menghindari persegi 2×2 sewarna.
2. Pola checkerboard (catur) dapat menghindari 2×2 sewarna untuk papan berukuran genap, misalnya \(4 \times 4\). Namun pada ukuran \(5 \times 5\), sudah tidak mungkin menghindari 2×2 sewarna. Jadi batas minimalnya adalah \(5 \times 5\).
3. Karena \(11 \times 11\) jelas lebih besar dari \(5 \times 5\), keberadaan persegi 2×2 sewarna pasti terjamin.

Pembahasan Soal 4

Soal: Temukan semua fungsi \(f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}\), kontinu, yang memenuhi $$ f(x+y) + f(x-y) = 2f(x) + 2y^2. $$

Solusi Polinomial:
Coba \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Substitusikan:

• \(f(x+y) = a(x+y)^2 + b(x+y) + c\),
  \(f(x-y) = a(x-y)^2 + b(x-y) + c\).
• Sehingga $$f(x+y) + f(x-y) = a\bigl((x+y)^2 + (x-y)^2\bigr) + b\bigl((x+y) + (x-y)\bigr) + 2c.$$ $$= 2ax^2 + 2ay^2 + 2bx + 2c.$$
• Sisi kanan: $$2f(x) + 2y^2 = 2\bigl(ax^2 + bx + c\bigr) + 2y^2 = 2ax^2 + 2bx + 2c + 2y^2.$$
• Keduanya akan sama jika \(2ax^2 + 2ay^2 + 2bx + 2c = 2ax^2 + 2bx + 2c + 2y^2\). Maka \(2ay^2 = 2y^2\) → \(a=1\).

Jadi $$ f(x) = x^2 + bx + c, $$ di mana \(b,c\) real bebas. Fungsi polinomial ini sudah kontinu, sehingga memenuhi seluruh syarat. Tidak ada bentuk lain yang muncul di bawah syarat kontinyu.

Pembahasan Soal 5

Soal: Dalam turnamen \(n\) pemain, pemain \(A\) disebut hebat jika untuk setiap pemain \(B\), berlaku \(A\) menang lawan \(B\) atau ada \(C\) (dikalahkan \(A\)) yang menang lawan \(B\). Buktikan minimal ada satu pemain hebat. Bahas pula banyaknya pemain hebat yang dapat terjadi.

Solusi (Konsep "King" di Turnamen):

• Modelkan turnamen sebagai graf berarah lengkap. "Pemain hebat" ⇔ simpul yang mencapai semua simpul lain melalui lintasan berarah dengan panjang ≤ 2. Ini sama dengan definisi "king" dalam teori turnamen.
• Teorema klasik: setiap turnamen memiliki sedikitnya satu king. Jadi, selalu ada minimal satu pemain hebat.
• Jumlah pemain hebat bergantung struktur graf. Bisa lebih dari satu, tetapi sekurangnya satu pasti ada. Batas maksimumnya bisa bervariasi, namun bukan keseluruhan pemain (umumnya) kecuali kasus kecil/trivial.

Pembahasan Soal 6

Soal: Misalkan \(a, b, c\) positif dengan $$(a+b)(b+c)(c+a) = 8.$$ Buktikan $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3, $$ dan tentukan kondisi kesetaraan.

Inti Argumentasi & Kesetaraan:
Perhatikan bahwa bentuk sangat simetris. Biasanya nilai minimum (untuk jumlah \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)) tercapai saat \(a=b=c\). Jika \(a=b=c\), maka $$(a+a)(a+a)(a+a) = 2a \cdot 2a \cdot 2a = 8a^3 = 8,$$ sehingga \(a=1\). Lalu $$\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 3.$$

Melalui ketaksamaan (AM-GM atau metode lain), terbukti \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\). Kesetaraan berlaku tepat saat \(a=b=c=1\).