Simulasi Soal Olimpiade Matematika SMA Standar IMO : 2025 (4)
Soal 1 (Teori Bilangan)
Misalkan n bilangan bulat positif. Didefinisikan
\( d(n) \) = jumlah pembagi positif dari \( n \).
Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif \( n \), berlaku:
\[
d(n^3) \geq 3d(n).
\]
Tentukan semua \( n \) yang memenuhi persamaan
\[
d(n^3) = 3d(n).
\]
Soal 2 (Kombinatorika)
Diberikan suatu himpunan \( S \) dengan \( |S| = 12 \). Banyaknya bagian (subset) dari \( S \) adalah \( 2^{12} = 4096 \). Kita definisikan "susunan berpasangan" (pairing) sebagai pemilihan dua subset yang berbeda, yaitu \( A \) dan \( B \), dengan syarat \( A \cap B = \varnothing \). Tentukan banyaknya susunan berpasangan berbeda yang mungkin, dan buktikan bahwa hasil tersebut adalah yang terbesar untuk himpunan berukuran 12.
Soal 3 (Geometri)
Diberikan segitiga \( ABC \) dengan titik \( M \) sebagai titik tengah sisi \( BC \). Misalkan \( H \) adalah orthocenter segitiga \( ABC \) (titik potong tiga garis tinggi). Garis \( AH \) berpotongan dengan lingkaran luar (circumcircle) segitiga \( ABC \) kembali di titik \( D \). Buktikan bahwa titik \( D \), \( M \), dan \( H \) segaris jika dan hanya jika \( AB = AC \).
Soal 4 (Aljabar/Inversi Fungsi)
Temukan semua fungsi \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) yang memenuhi persamaan \[ f(f(x)) + x = 2f(x) \] untuk semua \( x \in \mathbb{R} \). Buktikan bahwa fungsi-fungsi tersebut merupakan fungsi bijektif dan tunjukkan bagaimana bentuk inversnya.
Soal 5 (Ketaksamaan)
Misalkan \( a, b, c \) bilangan real positif yang memenuhi \( abc = 1 \). Buktikan bahwa \[ \frac{a}{(1+b)(1+c)} + \frac{b}{(1+a)(1+c)} + \frac{c}{(1+a)(1+b)} \ge \frac{3}{4}. \] Tentukan kondisi kesetaraan dari ketaksamaan tersebut.
Soal 6 (Kombinatorika Geometri)
Diberikan \( n \) titik pada bidang sedemikian hingga tidak ada tiga titik yang segaris. Setiap pasang titik dihubungkan oleh sebuah ruas garis. Warna setiap ruas garis dengan dua warna, merah atau biru. Buktikan bahwa selalu ada segitiga beraturan (equilateral triangle) yang semua sisinya berwarna sama, atau tunjukkan syarat minimal \( n \) agar kesimpulan tersebut pasti terjadi.
Pembahasan
Pembahasan Soal 1 (Teori Bilangan)
Inti persoalan: menunjukkan bahwa \( d(n^3) \ge 3d(n) \) dan menentukan kapan kesetaraan tercapai.
Langkah-langkah:
1. Jika
\(
n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}
\)
dengan \( p_i \) prima berbeda, maka
\[
d(n) = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1)\cdots(\alpha_k + 1).
\]
2. Maka
\[
n^3 = p_1^{3\alpha_1} p_2^{3\alpha_2} \cdots p_k^{3\alpha_k},
\]
sehingga
\[
d(n^3) = (3\alpha_1 + 1)(3\alpha_2 + 1)\cdots(3\alpha_k + 1).
\]
3. Gunakan ketaksamaan sederhana (misal,
\( 3\alpha_i + 1 \ge 3(\alpha_i + 1)/2 \)
atau analisis serupa) untuk menunjukkan
\( d(n^3) \ge 3\,d(n) \).
4. Kesetaraan terjadi jika dan hanya jika setiap faktor
“tepat” memenuhi kondisi minimal, dan ini hanya terwujud
kalau \( n \) berbentuk \( p^1 \) (prima pangkat satu).
5. Sehingga,
\[
d(n^3) \ge 3 d(n),
\]
dan kesetaraan berlaku jika dan hanya jika \( n \) adalah bilangan prima.
Pembahasan Soal 2 (Kombinatorika)
Inti persoalan: Menghitung jumlah cara memilih dua subset berbeda \( A \) dan \( B \) dengan syarat \( A \cap B = \varnothing \).
Langkah-langkah:
1. Tiap elemen dalam \( S \) (berukuran 12) memiliki 3 pilihan:
masuk ke subset \( A \), subset \( B \), atau tidak ke keduanya.
2. Sehingga ada \( 3^{12} \) cara keseluruhan untuk menempatkan
setiap elemen pada salah satu dari tiga “posisi” tersebut.
3. Kasus \( A = B \) (yang tidak kita inginkan) setara dengan
pemilihan 1 subset (karena jika sama, tiap elemen “memilih” subset
tersebut atau tidak), totalnya \( 2^{12} \).
4. Jadi total pairing berbeda
\( (A,B) \) yang disyaratkan adalah
\[
3^{12} - 2^{12}.
\]
5. Periksa pula apakah pasangan \( (A,B) \) dibedakan dengan \( (B,A) \).
Bila dianggap sama, maka hasil harus dibagi 2.
Jika dianggap beda, maka hasil \( 3^{12} - 2^{12} \) final.
(Tergantung definisi soal.)
6. Mengenai optimalitas, pemetaan elemen ke dalam “tiga kotak”
adalah cara paling bebas (dan maksimal),
sehingga menghasilkan jumlah susunan berpasangan terbesar.
Pembahasan Soal 3 (Geometri)
Inti persoalan: Menunjukkan titik \( D \), \( M \), dan \( H \) segaris jika dan hanya jika \( AB = AC \).
Ide umum:
1. \( H \) adalah orthocenter segitiga \( ABC \),
\( M \) titik tengah \( BC \),
dan \( D \) titik kedua perpotongan garis \( AH \)
dengan lingkaran luar segitiga.
2. Dalam segitiga sama kaki di \( A \) (\( AB = AC \)),
tinggi dari \( A \) juga median dan sumbu simetri,
membuat \( M, H, D \) berada pada garis simetri yang sama.
3. Sebaliknya, bila \( M, H, D \) segaris, analisis
posisi orthocenter (atau pantulan orthocenter) menunjukkan
segitiga harus sama kaki, yaitu \( AB = AC \).
Pembahasan Soal 4 (Aljabar/Inversi Fungsi)
Inti persoalan: Cari semua fungsi \( f \) yang memenuhi \( f(f(x)) + x = 2f(x) \).
Langkah-langkah:
1. Ubah persamaan menjadi
\( f(f(x)) = 2f(x) - x \).
2. Coba asumsi bentuk linear \( f(x) = ax + b \).
Substitusikan:
\[
f(f(x)) = a(ax + b) + b = a^2 x + ab + b.
\]
Sementara
\[
2f(x) - x = 2(ax + b) - x = (2a - 1)x + 2b.
\]
3. Samakan:
\( a^2 x + ab + b = (2a - 1)x + 2b \).
Diperoleh
\( a^2 = 2a - 1 \) dan \( ab + b = 2b \).
4. Dari \( a^2 = 2a - 1 \), kita dapat \( (a - 1)^2 = 0 \)
sehingga \( a = 1 \).
Lalu persamaan \( ab + b = 2b \) menjadi \( b + b = 2b \),
yang selalu benar.
5. Maka bentuknya \( f(x) = x + b \) untuk sebarang \( b \).
6. Cek kebijektifan: jelas bijektif. Inversnya \( f^{-1}(y) = y - b \).
7. Tidak ada bentuk lain karena fungsi polinomial (terutama linear)
adalah kandidat utama, dan sifat bijektif juga mengerucutkan
pilihan bentuk.
Pembahasan Soal 5 (Ketaksamaan)
Inti persoalan: Buktikan \[ \frac{a}{(1+b)(1+c)} + \frac{b}{(1+a)(1+c)} + \frac{c}{(1+a)(1+b)} \ge \frac{3}{4} \] dengan \( a, b, c > 0 \) dan \( abc = 1 \).
Langkah-langkah:
1. Biasanya, gunakan metode AM-GM atau Cauchy-Schwarz.
2. Karena \( abc = 1 \), sering kita definisikan
\( a = \frac{x}{y}, b = \frac{y}{z}, c = \frac{z}{x} \)
untuk \( x, y, z > 0 \).
3. Substitusi ke bentuk
\(
\frac{a}{(1+b)(1+c)}
\)
dan seterusnya untuk menyeimbangkan simetri.
4. Setelah diolah, didapatkan ketaksamaan
\( \ge \frac{3}{4} \).
5. Kondisi kesetaraan:
\( a = b = c = 1 \) (pengecekan langsung).
6. Jadi,
\[
\frac{a}{(1+b)(1+c)} + \frac{b}{(1+a)(1+c)}
+ \frac{c}{(1+a)(1+b)} \ge \frac{3}{4},
\]
dengan equality saat \( a = b = c = 1 \).
Pembahasan Soal 6 (Kombinatorika Geometri)
Inti persoalan: Dari \( n \) titik di bidang (tak tiga segaris), dengan pewarnaan 2 warna pada semua ruas, cari \( n \) minimal sehingga pasti ada segitiga beraturan berwarna sama.
Garis besar ide:
1. Soal ini merupakan perpaduan konsep Ramsey dan
geometri diskrit.
2. “Segitiga beraturan” terkait jarak yang sama.
3. Salah satu pendekatan: gunakan konfigurasi seperti
titik-titik pada suatu poligon beraturan, lalu
analisis cara 2-pewarnaan sisi-sisinya.
4. Tunjukkan bahwa untuk \( n \) tertentu,
tidak mungkin menghindari kemunculan segitiga beraturan
satu warna.
5. Terdapat hasil-hasil khusus di “unit distance graph”
yang menentukan \( n \) minimal.
Beberapa hasil menunjukkan \( n = 6 \) atau \( 7 \)
dalam versi tertentu, tapi detail lengkap perlu analisis
mendalam (di luar lingkup ringkas).
Baca Juga :