Simulasi Soal Olimpiade Matematika SMA Standar IMO : 2025 (3)

10 Feb 2025 | dibaca 70 kali

Soal 1 (Geometri)

Diberikan segitiga ABC lancip (semua sudutnya < 90°). Biarkan H menjadi orthocenter segitiga, dan M titik tengah pada sisi BC. Titik Q didefinisikan sebagai kaki proyeksi H ke garis AB, sedangkan P adalah kaki proyeksi H ke garis AC. Titik X adalah hasil pencerminan H terhadap M (artinya M adalah titik tengah ruas HX).

Buktikan: Ketiga titik X, P, dan Q terletak pada satu garis lurus.

Soal 2 (Teori Bilangan)

Carilah semua pasangan bilangan bulat (x,y) yang memenuhi persamaan

$$ x^2 + y^2 \;=\; (xy + 1)^2. $$

Soal 3 (Kombinatorik)

Diberikan papan berukuran 7 × 8, di mana setiap kotak diwarnai dengan salah satu dari dua warna (misalnya hitam atau putih). Tunjukkan bahwa selalu ada sebuah persegi panjang (dengan sisi sejajar tepi papan) yang keempat sudutnya memiliki warna yang sama.

Soal 4 (Persamaan Fungsional)

Diberikan fungsi kontinu $$ f : \mathbb{R} \;\to\; \mathbb{R}, $$ yang memenuhi

$$ f\bigl(f(x) + y\bigr) \;=\; x + f(y), $$

untuk setiap x,y bilangan real. Temukan semua f yang memenuhi persamaan tersebut.

Soal 5 (Kombinatorik / Geometri Graf)

Di sebuah lingkaran, ditempatkan n titik berbeda (n ≥ 4). Setiap tali-busur (chord) yang menghubungkan dua titik diwarnai merah atau biru. Buktikan bahwa selalu terdapat segitiga (yakni tiga titik) sehingga ketiga tali-busur segitiga tersebut monokrom (semuanya merah atau semuanya biru).

Soal 6 (Ketaksamaan)

Misalkan a,b,c adalah bilangan real positif, dengan $$ abc = 1. $$ Buktikan bahwa $$ \bigl(a^2 + b^2 + c^2\bigr)\Bigl(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\Bigr) \;\;\ge\;\; 9. $$

Sketsa Pembahasan / Solusi

Pembahasan Soal 1 (Geometri)

Inti Konfigurasi:
H adalah orthocenter pada segitiga ABC lancip. M titik tengah BC, P dan Q kaki tinggi dari H ke AC dan AB. X didefinisikan sebagai pencerminan H melalui M.

Klaim: X, P, Q segaris.

Tempatkan koordinat sedemikian rupa agar perhitungan lebih sederhana, misal B dan C di sumbu tertentu sehingga M menjadi titik asal (0,0) lalu H punya koordinat mudah dicari. Tunjukkan proyeksi Q dan P memiliki ekspresi koordinat yang jika dievaluasi, ketiganya kolinear.
Atau gunakan pendekatan vektor: X adalah H + 2(MH). Dengan memanfaatkan sifat orthocenter dan kaki tinggi, kita bisa buktikan P, Q, X berada pada satu garis (garis tersebut kerap disebut “refleksi-locus” dalam geometri orthocenter).

Pembahasan Soal 2 (Teori Bilangan)

Kita perlu menyelesaikan $$ x^2 + y^2 = (\,xy + 1\,)^2. $$ Uraian:

$$(xy+1)^2 = x^2y^2 + 2xy + 1.$$ Sehingga persamaan menjadi $$ x^2 + y^2 = x^2y^2 + 2xy + 1. $$ Pindahkan semua ke satu sisi: $$ x^2 + y^2 - x^2 y^2 - 2xy - 1 = 0.$$

Umumnya, solusi integer akan sangat terbatas. Periksa kasus kecil: misalnya x=0 atau y=0, x=1, y=1, dsb. Setelah enumerasi, kita temukan hanya sedikit pasangan (x,y) yang valid. (Proses detail mencakup uji substitusi.)

Ringkasnya, solusi integer akan muncul dari pembatasan di mana |xy| tidak boleh terlalu besar, atau satu dari x, y adalah 0 atau ±1. Hasil akhirnya adalah himpunan solusi kecil (contoh: (0, ±1), (±1, 0), dlsb.) dan simetri (x, y) → (y, x).

Pembahasan Soal 3 (Kombinatorik)

Soal: Pewarnaan dua warna pada papan 7×8, buktikan ada persegi panjang (ditentukan oleh dua baris dan dua kolom berbeda) yang sudut-sudutnya sama warna.

Gagasan Utama (Pigeonhole pada Baris):

Anggap setiap baris sebagai string biner panjang 8 (0 untuk hitam, 1 untuk putih).
Jika ada dua baris A dan B yang cocok dalam dua kolom j dan k (artinya warna(A,j) = warna(B,j) dan warna(A,k) = warna(B,k)), maka keempat sudut (A,j), (A,k), (B,j), (B,k) membentuk persegi panjang dengan sudut sewarna.
Dengan 7 baris, pasti bisa dipaksa bahwa ada dua baris yang kembar di minimal 2 kolom. Argumennya: kalau tidak, maka setiap pasang baris sama di ≤ 1 kolom, total kecocokan terlalu sedikit, kontradiksi. (Bisa juga dibuat counting argument.)

Hasil: Ada persegi panjang 2×2 (atau lebih besar) dengan keempat sudut monokrom.

Pembahasan Soal 4 (Persamaan Fungsional)

Soal: Fungsi kontinu $$ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, $$ dengan $$ f\bigl(f(x)+y\bigr) = x + f(y). $$

Langkah:

Set $y=0$. Didapat $f(f(x)) = x + f(0)$. Definisikan konstanta $c = f(0)$. Ini menunjukkan $f$ bersifat bijektif.
Ke-bijektifan dan kontinu menuntun ke bentuk linear: tebak $f(x)=x+k$. Substitusi ke persamaan. Ternyata kondisi memaksa $k=0$.
Jadi $f(x)=x$ satu-satunya solusi kontinu. (Jika muncul bentuk $x+k$, dicek lebih lanjut, akan berujung $k=0$.

Kesimpulan: $\boxed{f(x)=x}$ untuk semua $x\in\mathbb{R}$.

Pembahasan Soal 5 (Kombinatorik / Geometri Graf)

Soal: n titik pada lingkaran, tiap chord diwarnai merah/biru. Buktikan selalu ada segitiga (3 titik) dengan 3 chord monokrom.

Ini analog dengan teorema Ramsey R(3,3): "Dalam graf lengkap 6 simpul dengan 2 pewarnaan tepi, pasti ada segitiga monokrom." Namun sebenarnya, untuk $n\ge 3$ pun mudah ditunjukkan minimal 1 segitiga monokrom akan muncul (kecuali trivial $n=2$).

Metode Konfigurasi:
Pilih satu titik A. Terdapat n-1 chord ke titik lain, entah merah atau biru. Jika minimal 2 chord ke A itu merah (yaitu A--B, A--C), cek chord B--C. Jika chord B--C merah, terbentuk segitiga merah. Jika chord B--C biru, analisis selanjutnya pun menjamin akhirnya ada segitiga monokrom. (Seperti bukti R(3,3)=6 di teori Ramsey.)

Pembahasan Soal 6 (Ketaksamaan)

Soal: a,b,c > 0, abc=1. Tunjukkan:

$$ (a^2 + b^2 + c^2) \Bigl(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\Bigr) \;\ge\; 9. $$

Salah Satu Cara:

Gunakan substitusi normalisasi: a=x/y, b=y/z, c=z/x. Maka a^2=x^2/y^2, dsb. Sisi kiri jadi $$ \left(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{z^2} + \frac{z^2}{x^2}\right)\left(\frac{y^2}{x^2} + \frac{z^2}{y^2} + \frac{x^2}{z^2}\right). $$ Kemudian terapkan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, $$ \left(\sum \frac{x^2}{y^2}\right)\left(\sum \frac{y^2}{x^2}\right)\;\ge\;(1+1+1)^2=9. $$
Kesetaraan terjadi jika $\frac{x^2}{y^2} = \frac{y^2}{z^2} = \frac{z^2}{x^2}$, yang menyiratkan $x=y=z$, alias $a=b=c$. Dari $abc=1$ didapat $a=b=c=1$.