Simulasi Soal Olimpiade Fisika SMA Standar IPhO : 2025 (3)

Batang homogen bermassa $m$ dan panjang $L$, berporos di ujungnya, memiliki momen inersia (terhadap ujung) $$I_{\text{batang}} = \frac{1}{3} m L^2.$$

Tabung berbentuk silinder pejal bermassa $M$ dan jari-jari $R$. Bila tabung berotasi pada sumbu horizontal yang melalui pusatnya, momen inersianya $$I_{\text{tabung}} = \frac{1}{2} M R^2.$$

Namun, perlu diperhatikan bahwa tabung juga mengalami rotasi serta gerak tangensial bersama ujung batang (jika tidak slip). Pada osilasi kecil, asumsi ideal: tabung bergulir tanpa slip di tempatnya (alias poros tabung hanya berputar). Sehingga, momen inersia total yang relevan terhadap titik $O$ meliputi: $$I_{\text{total}} = I_{\text{batang}} + I_{\text{tabung terhadap titik } A \text{ yang berjarak } L} + \text{(efek putar tabung)}.$$ Karena sumbu tabung berimpit dengan $A$ (ujung batang) dan dianggap tabung tidak bergeser, momen inersia tambahan yang timbul hanyalah $\frac{1}{2} M R^2$ plus transport theorem jika pusat massa tabung bergerak. Tetapi di sini, pusat tabung tetap di titik $A$. Dengan demikian: $$I_{\text{total}} = \frac{1}{3} m L^2 + \frac{1}{2} M R^2.$$

Untuk simpangan sudut kecil $\theta$, gaya pemulih terutama karena gravitasi pada batang (pusat massanya berjarak $L/2$ dari poros). Momen pemulih $\tau \approx - (m g) \frac{L}{2} \theta$. Dengan dinamika rotasi: $$I_{\text{total}} \frac{d^2 \theta}{dt^2} = \tau.$$ Sehingga: $$\frac{d^2 \theta}{dt^2} + \frac{\bigl(mg \frac{L}{2}\bigr)}{I_{\text{total}}} \theta = 0.$$ Misalkan $$\omega^2 = \frac{m g \,\frac{L}{2}}{I_{\text{total}}},$$ maka $$\omega = \sqrt{\frac{\tfrac12\,m g\,L}{\frac13\,m\,L^2 + \frac12\,M\,R^2}}.$$ Periode osilasi: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{\tfrac13\,m\,L^2 + \tfrac12\,M\,R^2}{\tfrac12\,m\,g\,L}}.$$

Jika $M \gg m$, maka $\tfrac12\,M\,R^2 \gg \tfrac13\,m\,L^2$. Dalam limit tersebut, $$I_{\text{total}} \approx \frac{1}{2} M R^2,$$ sehingga $$T \approx 2\pi \sqrt{\frac{\tfrac12\,M\,R^2}{\tfrac12\,m\,g\,L}} = 2\pi \sqrt{\frac{M R^2}{m\,g\,L}}.$$ Artinya periode menjadi lebih besar. Semakin besar massa tabung, osilasi semakin lambat karena momen inersia total bertambah.

Pada pipa tertutup di satu ujung (kiri) dan terbuka di ujung (kanan), untuk mode fundamental, tekanan memiliki simpul di ujung terbuka dan perut di ujung tertutup. Kecepatan (aliran udara) berperilaku sebaliknya: perut di ujung terbuka dan simpul di ujung tertutup.

Dengan penampang yang bervariasi, pada bagian yang penampangnya lebih kecil, partikel udara cenderung memiliki kecepatan partikel yang lebih besar (untuk mempertahankan kontinuitas aliran), sementara fluktuasi tekanan dapat berperilaku tidak seragam di sepanjang pipa. Namun secara kualitatif: tekanan tetap ~0 (simpul) di ujung terbuka dan maksimum di ujung tertutup (perut tekanan).

Untuk pipa seragam dengan panjang efektif $L$, mode fundamental memenuhi $$k\,L = \frac{\pi}{2}$$ (gelombang bunyi dengan panjang gelombang $\lambda = 4L$). Dengan penampang bervariasi, distribusi kecepatan dan tekanan tidak lagi berbentuk sinus murni. Efektifnya, panjang resonansi (atau fase) berubah, sehingga frekuensi resonansi juga berubah (tidak persis $v/(4L)$).

Salah satu cara melihatnya: kecepatan fase dan posisi simpul/perut bergeser karena adanya perubahan impedansi akustik. Frekuensi resonansi $f_{\text{res}}$ menjadi $$f_{\text{res}} = \frac{v}{4\,L_{\text{efektif}}},$$ dengan $L_{\text{efektif}} \neq L$.

Pipa dengan penampang mengecil di daerah tertentu cenderung memperpendek panjang gelombang efektif karena memperkuat efek inersia udara (atau fase gelombang berubah lebih cepat). Umumnya, hasil akhirnya adalah frekuensi resonansi sedikit meningkat. Namun, jika pelebaran dominan, efeknya bisa menurunkan frekuensi. Prinsipnya: perubahan penampang mengubah kondisi batas efektif dan distribusi fase gelombang. Dalam banyak kasus (misalnya alat musik tiup dengan corong melebar di ujung), frekuensi fundamental bisa sedikit lebih tinggi dibanding pipa silinder murni.

Faktor fisika utama: perubahan impedansi akustik lokal yang memodifikasi boundary conditions di sepanjang pipa dan posisi efektif simpul/perut.

Ggl induksi $\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi_B}{dt}$, dengan $\Phi_B = \iint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$. Jika loop diputar dengan laju sudut $\omega$ di bidang horizontal, distribusi $\mathbf{B}(r)$ mengakibatkan tiap elemen luas mengalami perubahan orientasi relatif terhadap medan.

Misalkan $\mathbf{B}(r)$ memiliki arah vertikal dan besaran bervariasi dengan jarak dari pusat. Setelah loop berputar sudut $\theta(t) = \omega t$, daerah loop yang berada dalam medan kuat mungkin berubah. Solusi detail memerlukan fungsi $\mathbf{B}(r)$ spesifik, misal: $$B(r) = B_0\,e^{-\alpha\,r}.$$ Luas efektif yang “terkena” medan akan berubah seiring rotasi, sehingga $\Phi_B(t)$ adalah integral 2D yang berubah dengan $\theta$.

Secara umum: $$\Phi_B(t) = \int_{A(t)} B(r)\, dA,$$ $$\mathcal{E}(t) = -\frac{d}{dt}\biggl(\int_{A(t)} B(r)\, dA\biggr).$$ Pola umum akan menjadi fungsi sinus/kosinus tergantung simetri $\mathbf{B}(r)$ dan posisi loop terhadap pusat medan.

Mengikuti hukum Lenz, arus induksi akan berusaha menentang perubahan fluks. Jika rotasi loop menyebabkan bertambahnya fluks magnet ke arah tertentu, arus akan timbul untuk menghasilkan medan yang melawan pertambahan fluks tersebut. Sebaliknya, jika fluks berkurang, arus timbul untuk “mempertahankan” fluks. Arah arus dapat ditentukan dengan aturan tangan kanan terkait medan efektif yang dibangkitkan loop.

Daya listrik terinduksi $\mathcal{P} \approx \mathcal{E}(t) \times I(t)$, di mana $I(t)$ adalah arus hasil dari ggl induksi. Dalam beban tertentu (dengan resistansi $R$), $\mathcal{P} \sim \frac{\mathcal{E}^2}{R}$.

Nilai $\mathcal{E}$ umumnya berbanding lurus dengan $\omega$ (untuk kasus medan seragam, $\mathcal{E}_{\max} \sim B\,A\,\omega$). Namun, jika $\omega$ terlalu besar, dibutuhkan torsi yang juga makin besar (karena arus induksi memperkuat gaya lawan). Ada kompromi antara $\omega$ dan torsi untuk memaksimalkan daya keluaran. Dalam aplikasi generator, frekuensi keluaran biasa dirancang pada nilai tertentu (misal 50/60 Hz). Secara kualitatif, untuk medan tak seragam pun berlaku hal serupa: semakin besar $\omega$, semakin besar ggl induksi tetapi semakin besar pula torsi lawan.

Jika hanya ada komponen dari $\phi_1$ dan $\phi_2$ dengan amplitudo sama dan fase nol, maka: $$\psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \,\phi_1(x) \;+\; \frac{1}{\sqrt{2}} \,\phi_2(x).$$ Di mana: $$\phi_1(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\;\sin\!\bigl(\frac{\pi\,x}{L}\bigr), \quad \phi_2(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\;\sin\!\bigl(\frac{2\pi\,x}{L}\bigr).$$

Dalam mekanika kuantum, evolusi waktu untuk tiap eigenstate $\phi_n$ adalah $$\phi_n(x)\, e^{-\tfrac{i\,E_n\,t}{\hbar}}.$$ Sehingga: $$\psi(x,t) \;=\; \frac{1}{\sqrt{2}}\,\phi_1(x)\,e^{-\tfrac{i\,E_1\,t}{\hbar}} \;+\;\frac{1}{\sqrt{2}}\,\phi_2(x)\,e^{-\tfrac{i\,E_2\,t}{\hbar}}.$$ Di mana $$E_n = \frac{\hbar^2\,\pi^2\,n^2}{2\,m\,L^2}.$$

Perbedaan frekuensi sudut adalah $$\omega_{21} = \frac{E_2 - E_1}{\hbar}.$$ Ini akan mempengaruhi “beating” atau osilasi dalam kepadatan probabilitas.

$$|\psi(x,t)|^2 \;=\;\Bigl|\tfrac{1}{\sqrt{2}}\, \phi_1(x)\, e^{-i\,\tfrac{E_1}{\hbar}\,t} \;+\;\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,\phi_2(x)\, e^{-i\,\tfrac{E_2}{\hbar}\,t}\Bigr|^2.$$ $$= \;\frac{1}{2}\,|\phi_1(x)|^2 \;+\;\frac{1}{2}\,|\phi_2(x)|^2 \;+\;\text{Re}\!\Bigl[\phi_1^*(x)\,\phi_2(x)\, e^{-\,i\,\tfrac{(E_2 - E_1)}{\hbar}\,t}\Bigr].$$ Hasilnya menunjukkan ada suku interferensi yang berosilasi dengan $$\omega = \frac{(E_2 - E_1)}{\hbar}.$$ Dengan kata lain, rapat probabilitas akan berosilasi dalam waktu dengan frekuensi sudut tersebut.

Sebagai contoh khusus untuk $n=1$ dan $n=2$, $E_2 - E_1 = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2\,m\,L^2}\,(2^2 - 1^2) = \frac{3\,\hbar^2\,\pi^2}{2\,m\,L^2},$ sehingga $$\omega = \frac{3\,\hbar\,\pi^2}{2\,m\,L^2}.$$ Inilah frekuensi osilasi “beat” dalam rapat probabilitas.

Efek Doppler relativistik diperoleh dengan menganalisis interval waktu antara dua puncak gelombang di kerangka pesawat dan menerapkan transformasi Lorentz ke kerangka pengamat di Bumi. Hasil akhirnya adalah $$\nu = \nu_0 \sqrt{\frac{1 + \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}}.$$ Secara singkat, puncak gelombang dipancarkan dengan selang waktu $\Delta t_0 = 1/\nu_0$ di kerangka pesawat. Dilihat dari Bumi, interval ini dilatasi waktu (faktor $\gamma$) plus efek bahwa pesawat mendekat sehingga puncak berikutnya menempuh jarak yang lebih pendek.

Diberikan: $$\frac{\nu}{\nu_0} = 3 \;=\; \sqrt{\frac{1 + \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}}.$$ Kuadratkan kedua sisi: $$9 = \frac{1 + \tfrac{v}{c}}{1 - \tfrac{v}{c}}.$$ $$9\,\Bigl(1 - \frac{v}{c}\Bigr) = 1 + \frac{v}{c}.$$ $$9 - 9\,\frac{v}{c} = 1 + \frac{v}{c}.$$ $$8 = 10\,\frac{v}{c}\quad\Longrightarrow\quad\frac{v}{c} = 0.8.$$ Jadi $v = 0.8\,c$.

Dari kerangka pesawat, Bumi bergerak mendekatinya dengan kecepatan $-v$. Efek Doppler juga muncul secara relativistik: pengamat di pesawat akan melihat cahaya dari Bumi mengalami pergeseran frekuensi sesuai rumus yang sama, hanya berbeda tanda laju relatif (arah). Dengan kata lain, jika Bumi memancarkan frekuensi $\nu_{\text{Bumi}}$ di kerangkanya sendiri, awak pesawat akan melihat $$\nu' = \nu_{\text{Bumi}} \sqrt{\frac{1 + \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}}.$$ Relativitas khusus menjamin kesetaraan formulisasi Doppler, meski sumber dan pengamat dipertukarkan. Oleh karena itu, efek Doppler bersifat relativistik-simetris, berbeda dari Doppler klasik yang tidak simetris pada kecepatan tinggi.