Simulasi Contoh Soal Olimpiade Matematika OSN SMA : 2025 (1)

Soal: Tiga real p, q, r dengan p+q+r=0 dan pqr=-1. Tentukan nilai (p^2+1)(q^2+1)(r^2+1).

Sketsa Penyelesaian:

1. Manfaatkan identitas (p+q+r)=0 → p^2+q^2+r^2 = -2(pq+qr+rp). Serta pqr=-1.
2. Expand (p^2+1)(q^2+1)(r^2+1) dan gunakan keterkaitan p+q+r, pq+qr+rp, dan pqr.
3. Setelah manipulasi, didapat nilai konstan tertentu (biasanya 8). Bisa pula memeriksa contoh numerik (p,q,r) yang memenuhi syarat untuk menebak hasil.

Hasil akhir (dengan pembuktian lengkap) adalah (p^2+1)(q^2+1)(r^2+1) bernilai tetap, dan umumnya nilainya adalah 8.

Soal: Cari (m,n) bilangan bulat positif dengan $$ m^2 + n^2 = 1 + \mathrm{lcm}(m,n). $$

Ide & Langkah:

1. Gunakan rumus \(\mathrm{lcm}(m,n)=\frac{mn}{\gcd(m,n)}\). Misalkan \(\gcd(m,n)=d\), \(m=dx\), \(n=dy\), \(\gcd(x,y)=1\).
2. Persamaan menjadi $$ d^2(x^2 + y^2) = 1 + d\,xy. $$ Analisis kasus \(d \ge 1\), \(x,y\) saling prima, dan sebagainya.
3. Enumerasi kecil: cocokkan \(x^2 + y^2\) dengan \(xy\), dsb. Biasanya hanya sedikit solusi (misal \((m,n)=(1,1), (1,2), (2,1)\), dll.). Verifikasi dengan persamaan semula.

Hasil akhirnya ialah beberapa pasangan \((m,n)\) terbatas yang memenuhi.

Soal: \(\triangle ABC\) dengan \(AB \neq AC\). \(O\) adalah pusat lingkaran luarnya. Garis lewat \(O\) memotong \(AB\) di \(M\) dan \(AC\) di \(N\), dan \(AM=AN\). Buktikan \(B, C, M, N\) sekolingkar (co-cyclic).

Ide:

• Gunakan fakta sudut pusat: \(\angle BOC = 2\angle BAC\).
• Kondisi \(AM=AN\) memunculkan simetri tertentu. Untuk membuktikan keempat titik \((B,C,M,N)\) segaris-lingkar, cukup tunjukkan \(\angle BMC + \angle BNC = 180^\circ\).
• Dapat digunakan pendekatan vektor, koordinat, atau murni geometri segitiga-lingkaran.

Kesimpulan: dengan konstruksi sudut yang tepat, terbukti \(B, C, M, N\) terletak pada satu lingkaran.

Soal: Di papan 10×10 yang diwarnai merah/biru, buktikan selalu ada 2×2 dengan minimal 3 sel sewarna. Bagaimana untuk papan 9×9?

Sketsa:

• Andaikan tidak ada 2×2 dengan 3 sel sewarna, berarti setiap 2×2 mempunyai paling banyak 2 sel yang sama warna.
• Pola seperti “catur” bisa muncul, tetapi di 10×10 akan muncul argumen pigeonhole/counting yang memaksa kontradiksi.
• Untuk 9×9, ada kemungkinan pola pengecualian (perlu contoh konstruksi spesifik atau argumentasi lebih lanjut) sehingga mungkin masih bisa dihindari 3 sel sewarna di 2×2.

Soal: Fungsi \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) dengan $$ f(m + f(n)) = f(m+n) + n. $$

Penyelesaian Singkat:

1. Set \(m=0\): $$ f(f(n)) = f(n) + n. $$
2. Dugaan bentuk linear: \(f(n) = an + b\). Uji dalam persamaan. Terlihat cocok bila \(a=1\) dan \(b=0\).
3. Sehingga \(f(n)=n\). Cek ulang dalam persamaan, ternyata konsisten. Tidak ada bentuk lain.

Soal: \(a,b,c>0\), \(a+b+c=6\), \(abc=8\). Buktikan: $$ \frac{1}{\sqrt{a+2}} + \frac{1}{\sqrt{b+2}} + \frac{1}{\sqrt{c+2}} \;\le\; \frac{3}{2}. $$ Tentukan pula kapan kesetaraan terjadi.

Langkah:

1. Cek contoh \(a=b=c=2\). Ini memenuhi \(a+b+c=6\) dan \(abc=8\). LHS menjadi $$ 3 \times \frac{1}{\sqrt{4}} = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}, $$ sehingga ini kandidat maksimum.
2. Gunakan ketaksamaan Jensen atau metode "meratakan" (smoothing) untuk menunjukkan LHS tidak dapat melebihi \(\frac{3}{2}\).
3. Kesetaraan berlaku jika dan hanya jika \(a=b=c=2\).