Simulasi Soal Olimpiade Matematika SMA Standar IMO : 2025 (6)
Soal 1
Diberikan bilangan prima ganjil berurutan p dan q (dengan p < q), buktikan bahwa terdapat tak hingga banyaknya bilangan bulat positif n sehingga
$$p \mid n^q + 1 \quad \text{dan} \quad q \mid n^p + 1.$$
Temukan semua n yang memenuhi kedua kondisi tersebut.
Soal 2
Misalkan A adalah titik interior pada segitiga BCD sedemikian sehingga
$$\angle BAC = \angle BAD = 30^\circ.$$
Diberikan bahwa AB sama panjang dengan AC dan AD. Tunjukkan bahwa segitiga BCD memiliki sisi-sisi yang memenuhi perbandingan tertentu yang hanya bergantung pada sudut-sudut di B dan C, terlepas dari posisi pasti titik A.
Soal 3
Diberikan segitiga ABC dengan panjang sisi AB = AC (segitiga sama kaki). Titik O adalah pusat lingkaran luar segitiga ABC. Misalkan M adalah titik tengah BC. Buktikan bahwa garis AM tegak lurus dengan OM jika dan hanya jika ABC adalah segitiga sama sisi.
Soal 4
Diberikan himpunan S yang berisi n buah bilangan asli. Sebuah "pasangan kuat" adalah pasangan terurut (x,y) dalam S (dengan \( x \neq y \)) yang memenuhi
$$x^y \equiv y^x \pmod{xy}.$$
Tentukan banyaknya pasangan kuat yang mungkin ada dalam S, dalam hal n, dan karakterisasi himpunan S yang memaksimalkan jumlah pasangan kuat tersebut.
Soal 5
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan real a, b, dan c yang positif, berlaku:
$$
\frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{a+c} + \frac{c^3}{a+b} \geq \frac{(a+b+c)^3}{2(a+b+c)} = \frac{(a+b+c)^2}{2}.
$$
Tentukan syarat kesetaraan dan perumumannya jika n variabel digunakan.
Soal 6
Misalkan f adalah fungsi polinomial tak konstan dengan koefisien bilangan bulat. Didefinisikan barisan
$$a_1 = 0, \quad a_{k+1} = f(a_k) \quad \text{untuk } k \ge 1.$$
Buktikan bahwa terdapat tak hingga banyaknya k sehingga a_k habis dibagi oleh derajat polinomial f. Berikan syarat yang lebih kuat pada f agar a_k dapat habis dibagi oleh pangkat lebih tinggi dari derajat f.
Pembahasan 1
Ide Utama: Pertama, perhatikan kondisi
$$p \mid n^q + 1 \quad \text{dan} \quad q \mid n^p + 1.$$
Dengan menggunakan sifat-sifat kongruensi modular dan fakta bahwa p dan q adalah prima ganjil berturutan, kita dapat mencari bentuk khusus n sehingga kedua kondisi dipenuhi.
Garis Besar Solusi:
1. Gunakan Teorema Fermat Kecil yang menyatakan bahwa untuk prima r, $$n^{r-1} \equiv 1 \pmod{r} \quad \text{jika } r \nmid n.$$ 2. Dari kondisi p | nq + 1, analisis nilai n yang menyebabkan nq berkelakuan khusus mod p. Demikian pula dari q | np + 1.
3. Tunjukkan bahwa kita dapat memilih n sedemikian sehingga kedua kongruensi terpenuhi secara tak terbatas (memanfaatkan sifat periodik dalam sistem modular).
4. Karakterisasi semua n yang mungkin dengan melihat gcd dan sifat siklik dari grup satuan modulo pq.
Hasil Akhir:
Ternyata bentuk umum n yang memenuhi kedua syarat tersebut dapat dikonstruksi dengan pola tertentu (misalnya memilih n sedemikian sehingga nq ≡ -1 (mod p) dan np ≡ -1 (mod q)), dan karena sifat periodik sistem modular, ada tak hingga banyak n yang demikian.
Garis Besar Solusi:
1. Gunakan Teorema Fermat Kecil yang menyatakan bahwa untuk prima r, $$n^{r-1} \equiv 1 \pmod{r} \quad \text{jika } r \nmid n.$$ 2. Dari kondisi p | nq + 1, analisis nilai n yang menyebabkan nq berkelakuan khusus mod p. Demikian pula dari q | np + 1.
3. Tunjukkan bahwa kita dapat memilih n sedemikian sehingga kedua kongruensi terpenuhi secara tak terbatas (memanfaatkan sifat periodik dalam sistem modular).
4. Karakterisasi semua n yang mungkin dengan melihat gcd dan sifat siklik dari grup satuan modulo pq.
Hasil Akhir:
Ternyata bentuk umum n yang memenuhi kedua syarat tersebut dapat dikonstruksi dengan pola tertentu (misalnya memilih n sedemikian sehingga nq ≡ -1 (mod p) dan np ≡ -1 (mod q)), dan karena sifat periodik sistem modular, ada tak hingga banyak n yang demikian.
Pembahasan 2
Ide Geometri: Perhatikan bahwa A ditempatkan sedemikian rupa sehingga AB = AC = AD dan sudut-sudut BAC serta BAD adalah 30°. Dengan demikian, A terletak pada irisan dua busur lingkaran yang terkait dengan sisi-sisi BCD.
Langkah Solusi:
1. Gunakan hukum cosinus dalam segitiga ABD dan ACD untuk memperoleh relasi antara sisi-sisi B, C, D.
2. Sudut BAC dan BAD yang sama (30°) memungkinkan kita mengekspresikan sisi-sisi BC\!, CD\!, DB dalam rasio tertentu.
3. Hasil akhirnya adalah bahwa rasio sisi-sisi segitiga BCD bergantung hanya pada sudut-sudut di B dan C, tidak tergantung pada lokasi spesifik A di interior.
4. Kesimpulannya, segitiga BCD memiliki perbandingan unik yang ditentukan oleh sudut-sudutnya, dan kehadiran A dengan kondisi AB = AC = AD serta 30^\circ tidak mengubah rasio tersebut.
Langkah Solusi:
1. Gunakan hukum cosinus dalam segitiga ABD dan ACD untuk memperoleh relasi antara sisi-sisi B, C, D.
2. Sudut BAC dan BAD yang sama (30°) memungkinkan kita mengekspresikan sisi-sisi BC\!, CD\!, DB dalam rasio tertentu.
3. Hasil akhirnya adalah bahwa rasio sisi-sisi segitiga BCD bergantung hanya pada sudut-sudut di B dan C, tidak tergantung pada lokasi spesifik A di interior.
4. Kesimpulannya, segitiga BCD memiliki perbandingan unik yang ditentukan oleh sudut-sudutnya, dan kehadiran A dengan kondisi AB = AC = AD serta 30^\circ tidak mengubah rasio tersebut.
Pembahasan 3
Analisis Geometri Lingkaran Luar:
1. Karena AB = AC, segitiga ABC adalah sama kaki, maka titik O (pusat lingkaran luar) terletak pada sumbu simetri dari segitiga tersebut.
2. Titik M adalah titik tengah BC. Dalam segitiga sama kaki, AM akan menjadi garis tinggi sekaligus median. Namun, agar AM \perp OM benar-benar tegak lurus, kita perlu kondisi lebih ketat.
3. Tunjukkan bahwa AM \perp OM hanya dapat terjadi ketika AB = BC = CA, yaitu segitiga sama sisi. Hal ini karena hanya pada segitiga sama sisi, garis AM tidak hanya median dan garis tinggi, tetapi juga sumbu (perpendicular bisector) untuk BC.
4. Dengan demikian, syarat AM \perp OM memaksa ABC menjadi sama sisi.
1. Karena AB = AC, segitiga ABC adalah sama kaki, maka titik O (pusat lingkaran luar) terletak pada sumbu simetri dari segitiga tersebut.
2. Titik M adalah titik tengah BC. Dalam segitiga sama kaki, AM akan menjadi garis tinggi sekaligus median. Namun, agar AM \perp OM benar-benar tegak lurus, kita perlu kondisi lebih ketat.
3. Tunjukkan bahwa AM \perp OM hanya dapat terjadi ketika AB = BC = CA, yaitu segitiga sama sisi. Hal ini karena hanya pada segitiga sama sisi, garis AM tidak hanya median dan garis tinggi, tetapi juga sumbu (perpendicular bisector) untuk BC.
4. Dengan demikian, syarat AM \perp OM memaksa ABC menjadi sama sisi.
Pembahasan 4
Definisi Pasangan Kuat: (x, y) adalah "pasangan kuat" jika
$$x^y \equiv y^x \pmod{xy}.$$
Ini setara dengan
$$x^y \equiv y^x \pmod{x} \quad \text{dan} \quad x^y \equiv y^x \pmod{y}.$$
Langkah Solusi:
1. Perhatikan bahwa x^y ≡ y^x (mod x) mengimplikasikan x membagi y^x - x^y. Gunakan fakta bahwa \( y^x \equiv 0^x \) atau 1^x atau bentuk lain tergantung kongruensi y (mod x).
2. Demikian pula dengan y^x ≡ x^y (mod y).
3. Cari pola yang mungkin memaksimalkan pasangan: misalnya jika S banyak mengandung bilangan yang saling berbagi divisor tertentu atau bentuk-bentuk seperti x = k^m, y = k^n yang membuat x^y = y^x dalam modulo.
4. Himpunan yang memaksimalkan jumlah "pasangan kuat" seringkali adalah himpunan yang mengandung banyak bilangan dengan faktor-faktor sama, atau bentuk deret pangkat.
Hasil: Jumlah maksimal pasangan kuat dapat diperoleh dengan strategi pemilihan S (misalnya semua elemen S adalah pangkat dari bilangan tertentu atau memiliki pola tertentu) yang memudahkan terpenuhinya \( x^y \equiv y^x \pmod{xy} \).
Langkah Solusi:
1. Perhatikan bahwa x^y ≡ y^x (mod x) mengimplikasikan x membagi y^x - x^y. Gunakan fakta bahwa \( y^x \equiv 0^x \) atau 1^x atau bentuk lain tergantung kongruensi y (mod x).
2. Demikian pula dengan y^x ≡ x^y (mod y).
3. Cari pola yang mungkin memaksimalkan pasangan: misalnya jika S banyak mengandung bilangan yang saling berbagi divisor tertentu atau bentuk-bentuk seperti x = k^m, y = k^n yang membuat x^y = y^x dalam modulo.
4. Himpunan yang memaksimalkan jumlah "pasangan kuat" seringkali adalah himpunan yang mengandung banyak bilangan dengan faktor-faktor sama, atau bentuk deret pangkat.
Hasil: Jumlah maksimal pasangan kuat dapat diperoleh dengan strategi pemilihan S (misalnya semua elemen S adalah pangkat dari bilangan tertentu atau memiliki pola tertentu) yang memudahkan terpenuhinya \( x^y \equiv y^x \pmod{xy} \).
Pembahasan 5
Ide Ketaksamaan: Ketaksamaan ini mengingatkan pada bentuk-bentuk klasik seperti Nesbitt atau ketaksamaan Chebyshev, namun di sini bentuknya berbeda. Kita dapat menggunakan metode Cauchy-Schwarz atau pendekatan homogenisasi.
Pembuktian Singkat (Metode Cauchy-Schwarz):
1. Perhatikan bahwa $$\frac{a^3}{b+c} = a \cdot \frac{a^2}{b+c}.$$ Kita dapat menggabungkannya dengan suku lain menggunakan $$\sum_{cyc} \frac{a^3}{b+c} \geq \frac{\left(\sum a^{\frac{3}{2}}\right)^2}{\sum_{cyc} a^{\frac{1}{2}}(b+c)}.$$ Meskipun tidak langsung, penjabaran lengkap akan menunjukkan ketaksamaan berujung pada $$\frac{(a+b+c)^2}{2}.$$ 2. Atau gunakan pendekatan substitusi homogen: misalkan a + b + c = 1, lalu buktikan bentuknya serupa karena semuanya menjadi homogen.
Syarat Kesetaraan: Terjadi saat dua di antara a, b, c sama dengan 0 (tidak mungkin karena positif) atau ketika a = b = c, sehingga masing-masing pecahan sama besar.
Perumuman ke n variabel: $$\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^3}{\sum_{j \neq i} x_j} \geq \frac{\left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)^2}{n-1}.$$ Strateginya serupa, dengan metode Cauchy-Schwarz atau teknik majorisasi.
Pembuktian Singkat (Metode Cauchy-Schwarz):
1. Perhatikan bahwa $$\frac{a^3}{b+c} = a \cdot \frac{a^2}{b+c}.$$ Kita dapat menggabungkannya dengan suku lain menggunakan $$\sum_{cyc} \frac{a^3}{b+c} \geq \frac{\left(\sum a^{\frac{3}{2}}\right)^2}{\sum_{cyc} a^{\frac{1}{2}}(b+c)}.$$ Meskipun tidak langsung, penjabaran lengkap akan menunjukkan ketaksamaan berujung pada $$\frac{(a+b+c)^2}{2}.$$ 2. Atau gunakan pendekatan substitusi homogen: misalkan a + b + c = 1, lalu buktikan bentuknya serupa karena semuanya menjadi homogen.
Syarat Kesetaraan: Terjadi saat dua di antara a, b, c sama dengan 0 (tidak mungkin karena positif) atau ketika a = b = c, sehingga masing-masing pecahan sama besar.
Perumuman ke n variabel: $$\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^3}{\sum_{j \neq i} x_j} \geq \frac{\left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)^2}{n-1}.$$ Strateginya serupa, dengan metode Cauchy-Schwarz atau teknik majorisasi.
Pembahasan 6
Analisis Fungsi Polinomial:
1. Misalkan derajat f adalah d. Dengan memeriksa sifat polinomial modulo d dan sifat iterasi (barisan a_k), kita dapat menunjukkan bahwa pola residu akan berulang atau membentuk siklus.
2. Apabila d membagi a_k untuk beberapa k, perhatikan iterasi-iterasi berikutnya. Terdapat argumen bahwa hal ini akan terjadi lagi untuk k-k tertentu karena f memiliki koefisien bulat dan a_1 = 0.
3. Untuk syarat lebih kuat agar a_k habis dibagi oleh pangkat lebih tinggi dari d, f perlu memiliki bentuk faktor yang memungkinkan peningkatan pangkat dalam setiap iterasi, misalnya f(x) = x^d + ... (dengan syarat koefisien tertentu) sehingga nilai-nilai iterasi menjadi kelipatan d^m untuk m lebih besar.
Kesimpulan: Oleh karena sifat iterasi pada polinomial berkoefisien bulat, selalu ada tak hingga banyak k untuk mana d (derajat f) membagi a_k. Untuk pangkat lebih tinggi, dibutuhkan syarat tambahan pada f agar iterasi memperkuat faktor d di setiap langkah.
1. Misalkan derajat f adalah d. Dengan memeriksa sifat polinomial modulo d dan sifat iterasi (barisan a_k), kita dapat menunjukkan bahwa pola residu akan berulang atau membentuk siklus.
2. Apabila d membagi a_k untuk beberapa k, perhatikan iterasi-iterasi berikutnya. Terdapat argumen bahwa hal ini akan terjadi lagi untuk k-k tertentu karena f memiliki koefisien bulat dan a_1 = 0.
3. Untuk syarat lebih kuat agar a_k habis dibagi oleh pangkat lebih tinggi dari d, f perlu memiliki bentuk faktor yang memungkinkan peningkatan pangkat dalam setiap iterasi, misalnya f(x) = x^d + ... (dengan syarat koefisien tertentu) sehingga nilai-nilai iterasi menjadi kelipatan d^m untuk m lebih besar.
Kesimpulan: Oleh karena sifat iterasi pada polinomial berkoefisien bulat, selalu ada tak hingga banyak k untuk mana d (derajat f) membagi a_k. Untuk pangkat lebih tinggi, dibutuhkan syarat tambahan pada f agar iterasi memperkuat faktor d di setiap langkah.
Baca Juga :