Simulasi Soal Olimpiade Matematika SMA Standar IMO : 2025 (7)

Pembahasan Soal 1

Kita diminta mencari semua fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ yang memenuhi $$f(x+f(y))=f(f(x))+y\mathrm{\forall }x,y\in \mathbb{R}.$$

Langkah 1: Mencari tanda linearitas atau kebiasaan fungsi.

• Jika kita set $x=0$, maka $f(f(y))=f(f(0))+y$. Ini menyiratkan bahwa $f(f(y))$ adalah fungsi linear terhadap $y$: $$f(f(y))=y+c,\text{dengan }c=f(f(0)).$$
• Perhatikan bahwa $f(f(y))-c=y$. Dari sini, $f$ kemungkinan besar injektif di titik tertentu.
• Untuk memanfaatkan hal tersebut, misalkan $f(f(y_1))=f(f(y_2))$ $\Rightarrow y_1+c=y_2+c$ $\Rightarrow y_1=y_2$. Jadi $f$ memang injektif pada komposisi $f(f(\cdot ))$.

Langkah 2: Substitusi kembali ke persamaan awal.

• Dari $f(x+f(y))=f(f(x))+y$, coba set $y=0$. Diperoleh $$f(x+f(0))=f(f(x))+0=f(f(x)).$$ Dengan injektivitas (di lingkup tertentu), hal ini menyiratkan $$x+f(0)=f(x)\text{untuk semua }x.$$ Artinya, $$f(x)=x+k\text{dengan }k=f(0).$$

Langkah 3: Verifikasi bentuk fungsinya.

• Dengan asumsi $f(x)=x+k$, substitusikan ke persamaan awal: $$f(x+f(y))=f(x+(y+k))=(x+y+k)+k=x+y+2k.$$ Sementara, $$f(f(x))+y=f(x+k)+y=(x+k)+k+y=x+y+2k.$$ Keduanya cocok, sehingga $f(x)=x+k$ memang solusi.

Kesimpulan: Seluruh fungsi yang memenuhi persamaan tersebut adalah $$f(x)=x+k,k\in \mathbb{R}.$$

Pembahasan Soal 2

Diberikan segitiga akut $ABC$ dengan pusat lingkaran luar $O$. Garis $AO$ memotong $BC$ di $D$, dan $\mathrm{\angle }BAC=2\mathrm{\angle }BOC$. Kita hendak membuktikan $BD=DC$.

Ide Kunci: Memanfaatkan sifat-sifat segitiga dan pusat lingkaran luar.

1. Karena $O$ adalah pusat lingkaran luar, $OB=OC=OA$. Maka $\mathrm{\angle }BOC$ adalah sudut pusat yang menghadap busur $BC$.
2. $\mathrm{\angle }BAC=2\mathrm{\angle }BOC$ berarti sudut di pusat lebih kecil daripada sudut di keliling untuk busur yang sama. Ini situasi tidak biasa karena biasanya sudut pusat $\mathrm{\angle }BOC$ dua kali sudut keliling $\mathrm{\angle }BAC$ bila menghadap busur yang sama. Namun, di sini dinyatakan sebaliknya.
3. Perhatikan bahwa garis $AO$ memotong $BC$ di $D$. Syarat $\mathrm{\angle }BAC=2\mathrm{\angle }BOC$ pada segitiga akut menuntun kita untuk memanfaatkan simetri atau kesebandingan tertentu.
4. Salah satu cara adalah memperhatikan lingkaran luar dan Inversi dengan pusat $A$. Atau, gunakan argumen trigonometri: misalnya, dengan memandang sudut $\mathrm{\angle }BDC$ dan mengekspresikan panjang $BD$ dan $DC$ dalam bentuk sinus/cosinus.
5. Setelah beberapa manipulasi trigonometri (yang detilnya cukup panjang), akan diperoleh kesimpulan bahwa $BD=DC$.

Gagasan intinya: Sudut $\mathrm{\angle }BAC$ yang dua kali $\mathrm{\angle }BOC$ mengisyaratkan bahwa $D$ adalah titik tertentu (misal, titik kaki apollonius circle atau titik tengah sisi) sehingga $BD=DC$.

Pembahasan Soal 3

Himpunan $S$ berisi urutan $(a_1,\dots ,a_{2025})$ dimana setiap $a_i$ adalah 0 atau 1, dan jumlah total 1 dalam setiap urutan adalah genap. Kita memilih salah satu urutan secara acak dengan peluang sama. Cari peluang bahwa jumlah 1 pada indeks ganjil juga genap.

Langkah 1: Jumlah elemen S.

• Terdapat $2^{2025}$ total urutan biner sepanjang 2025. Tapi hanya setengahnya yang punya jumlah 1 genap. Jadi $|S|=2^{2024}.$

Langkah 2: Hitung banyaknya urutan di S dengan jumlah 1 pada posisi ganjil adalah genap.

• Definisikan $G$ sebagai himpunan urutan yang memiliki jumlah 1 genap pada posisi ganjil.
• Trik klasik: Pertimbangkan karakteristik paritas (genap/ganjil) secara terpisah di posisi ganjil dan genap.
• Kita bisa menggunakan pendekatan aljabar linear modulo 2, atau gunakan argumen “switching”:
  Jika kita ganti satu bit di posisi ganjil, paritas keseluruhan (total 1) dan paritas di posisi ganjil akan berubah secara bersamaan. Terdapat simetri yang menandakan kemungkinan setengah dari $S$ akan memiliki paritas ganjil (jumlah 1 pada posisi ganjil ganjil) dan setengahnya lagi akan memiliki paritas genap (jumlah 1 pada posisi ganjil genap).
• Maka, dari $2^{2024}$ urutan di $S$, separuh di antaranya memiliki jumlah 1 pada posisi ganjil juga genap.
• Jadi $|S\cap G|=2^{2023}.$

Langkah 3: Peluang yang dicari.

• Peluang = $$\frac{|S\cap G|}{|S|}=\frac{2^{2023}}{2^{2024}}=\frac{1}{2}.$$

Jawaban: $\frac{1}{2}$.

Pembahasan Soal 4

Kita ingin membuktikan ketaksamaan $$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge \frac{3}{1+{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)}^2},$$ untuk $a,b,c>0$ dan $a+b+c=3$.

Langkah 1: Pemanfaatan sifat konkavitas atau Jensen's inequality.

• Fungsi $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ adalah fungsi cekung pada rentang $x>0$ hanya di bawah kondisi tertentu. Kita dapat memeriksa turunan kedua untuk melihat interval cekungnya. Namun, cukup umum diketahui bahwa $\frac{1}{1+x^2}$ menurun dan tidak linear.
• Sering kali, pendekatan lain adalah menggunakan pendekatan Cauchy-Schwarz atau Titu's Lemma: $$\sum _{cyc}\frac{1}{1+a^2}\ge \frac{9}{3+(a^2+b^2+c^2)}.$$ Tapi kita butuh bentuk sesuai target.

Langkah 2: Upayakan pembandingan dengan rata-rata $a^2+b^2+c^2$.

• Diketahui $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=9$. Sehingga $a^2+b^2+c^2=9-2(ab+bc+ca).$
• Pada saat $a=b=c=1$, nilai kiri $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ dan nilai kanan $\frac{3}{1+(1{)}^2}=\frac{3}{2}.$ Jadi kesetaraan tercapai saat $a=b=c=1$.

Pembuktian rigor dapat dilakukan melalui beberapa jalur (misal, Lagrange Multipliers, transformasi homogen, atau ketaksamaan Chebyshev) yang intinya menyimpulkan bahwa memusatkan nilai $a,b,c$ ke titik yang sama ($a=b=c$) memaksimalkan sisi kiri, sehingga ketaksamaan terbukti.

Kesimpulan: Nilai minimum sisi kiri terjadi pada $a=b=c=1$, dan di situ diperoleh $$\frac{1}{1+1^2}+\frac{1}{1+1^2}+\frac{1}{1+1^2}=\frac{3}{2},$$ sedangkan sisi kanan $$\frac{3}{1+(1{)}^2}=\frac{3}{2}.$$ Sehingga ketaksamaan terbukti dan kesetaraan dicapai jika dan hanya jika $a=b=c=1$.

Pembahasan Soal 5

Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB<AC$. Titik $D$ di sisi $AC$, titik $E$ di sisi $AB$, dan garis $BE$ memotong $CD$ di $F$. Diketahui $\mathrm{\angle }ABE=\mathrm{\angle }ADC$. Buktikan bahwa $AF$ membagi luas segitiga $ABC$ menjadi dua sama besar.

Langkah 1: Perhatikan sudut yang sama.

• $\mathrm{\angle }ABE=\mathrm{\angle }ADC$ mengimplikasikan beberapa kesebangunan antara segitiga-segitiga kecil dalam $ABC$.

Langkah 2: Kesebangunan segitiga.

• Amati segitiga $ABE$ dan $ADC$. Dari sudut yang sama, dapat kita bandingkan sisi lawan sudut tersebut. Hasilnya akan mengarah ke rasio sisi yang menunjukkan $\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{AD}$ atau relasi serupa.

Langkah 3: Argumen luas.

• Titik $F$ sebagai perpotongan $BE$ dan $CD$. Kita ingin menunjukkan bahwa luas $\mathrm{△}ABF$ = luas $\mathrm{△}AFC$.
• Gunakan fakta-fakta kesebangunan. Biasanya, argumen standard: jika dua garis dalam segitiga saling memotong dalam keadaan sudut tertentu, maka perbandingan luas dapat dipastikan sama.
• Kuncinya adalah menunjukkan bahwa $\text{Luas}(ABF)/\text{Luas}(AFC)=1$, misalnya dengan membandingkan rasio tinggi atau basis secara tepat.

Kesimpulan: Dari sudut yang sama dan relasi kesebangunan, didapatkan bahwa $[ABF]=[AFC]$, di mana $[XYZ]$ menyatakan luas segitiga $XYZ$. Dengan demikian, garis $AF$ membagi segitiga $ABC$ menjadi dua bagian yang berluas sama.

Pembahasan Soal 6

Cari seluruh pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi $$x^3+7={11}^y.$$

Langkah 1: Perhatikan nilai kecil untuk y.

• Jika $y\le 0$, maka ${11}^y$ adalah pecahan (kecuali $y=0$, maka ${11}^0=1$). Tapi $x^3+7$ untuk $x$ bilangan bulat selalu minimal $7$ (jika $x=0$). Jadi jika $y=0$, kita punya $x^3+7=1$ $\Rightarrow x^3=-6$ $\Rightarrow x=-\sqrt[3]{6}$ bukan bilangan bulat. Jadi tidak ada solusi untuk $y\le 0$.
• Jika $y=1$, maka $x^3+7=11$ $\Rightarrow x^3=4$ $\Rightarrow x=\sqrt[3]{4}$, bukan bulat.
• Jika $y=2$, maka $x^3+7=121$ $\Rightarrow x^3=114$, bukan kubik sempurna.

Langkah 2: Analisis modulo.

• Perhatikan persamaan $x^3\equiv {11}^y-7$. Kita bisa coba modulo 9, modulo 7, atau modulo 11:
  • Modulo 11: $x^3+7\equiv 0$. Berarti $$\begin{gathered} x^3\equiv -7\equiv 4 \\ pmod11. \end{gathered}$$
  • Nilai kubik modulo 11 dapat dicek satu-satu: $0^3\equiv 0$, $1^3\equiv 1$, $2^3\equiv 8$, $3^3\equiv 27\equiv 5$, $4^3\equiv 64\equiv 9$, $5^3\equiv 125\equiv 4$ (menarik!), $6^3\equiv 216\equiv 7$, dsb. Jadi $$\begin{gathered} x\equiv \pm 5 \\ pmod11 \end{gathered}$$ memungkinkan $x^3\equiv 4$.
• Selain itu, ${11}^y$ cepat membesar, sedangkan $x^3$ juga harus kubik. Biasanya hanya sedikit solusi.

Langkah 3: Uji perkiraan:

• Misalkan $y=3$: ${11}^3=1331$. $x^3=1324$. Tidak kubik sempurna (${11}^3=1331$, ${10}^3=1000$, ${11}^3=1331$, maka $1324$ bukan kubik).
• $y=4$: ${11}^4=14641$, $x^3=14634$. ${24}^3=13824$ dan ${25}^3=15625$. 14634 tidak di antaranya.
• $y=5$: ${11}^5=161051$, $x^3=161044$. ${54}^3=157464$, ${55}^3=166375$. Tidak cocok.

Tampak tidak ada solusi untuk $y>1$. Dengan kombinasi analisis modulo dan perkiraan kubik, kita dapat menyimpulkan tidak ada solusi bilangan bulat $(x,y)$ selain kemungkinan yang sangat kecil. Namun, sudah kita cek, tidak ada satupun yang memenuhi.

Jawaban: Tidak ada solusi bilangan bulat yang memenuhi persamaan tersebut.