Simulasi Soal Olimpiade Matematika SMA Standar IMO : 2025 (7)

Pembahasan Soal 1

Kita diminta mencari semua fungsi \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) yang memenuhi \[ f(x + f(y)) = f(f(x)) + y \quad \forall x,y \in \mathbb{R}. \]

Langkah 1: Mencari tanda linearitas atau kebiasaan fungsi.

• Jika kita set \( x = 0 \), maka \( f(f(y)) = f(f(0)) + y \). Ini menyiratkan bahwa \( f(f(y)) \) adalah fungsi linear terhadap \( y \): \[ f(f(y)) = y + c, \quad \text{dengan } c = f(f(0)). \]
• Perhatikan bahwa \( f(f(y)) - c = y \). Dari sini, \( f \) kemungkinan besar injektif di titik tertentu.
• Untuk memanfaatkan hal tersebut, misalkan \( f(f(y_1)) = f(f(y_2)) \) \( \Rightarrow y_1 + c = y_2 + c \) \( \Rightarrow y_1 = y_2 \). Jadi \( f \) memang injektif pada komposisi \( f(f(\cdot)) \).

Langkah 2: Substitusi kembali ke persamaan awal.

• Dari \( f(x + f(y)) = f(f(x)) + y \), coba set \( y = 0 \). Diperoleh \[ f\bigl(x + f(0)\bigr) = f(f(x)) + 0 = f(f(x)). \] Dengan injektivitas (di lingkup tertentu), hal ini menyiratkan \[ x + f(0) = f(x) \quad \text{untuk semua } x. \] Artinya, \[ f(x) = x + k \quad \text{dengan } k = f(0). \]

Langkah 3: Verifikasi bentuk fungsinya.

• Dengan asumsi \( f(x) = x + k \), substitusikan ke persamaan awal: \[ f(x + f(y)) = f\bigl(x + (y + k)\bigr) = (x + y + k) + k = x + y + 2k. \] Sementara, \[ f(f(x)) + y = f(x + k) + y = (x + k) + k + y = x + y + 2k. \] Keduanya cocok, sehingga \( f(x) = x + k \) memang solusi.

Kesimpulan: Seluruh fungsi yang memenuhi persamaan tersebut adalah \[ f(x) = x + k, \quad k \in \mathbb{R}. \]

Pembahasan Soal 2

Diberikan segitiga akut \( ABC \) dengan pusat lingkaran luar \( O \). Garis \( AO \) memotong \( BC \) di \( D \), dan \( \angle BAC = 2 \angle BOC \). Kita hendak membuktikan \( BD = DC \).

Ide Kunci: Memanfaatkan sifat-sifat segitiga dan pusat lingkaran luar.

1. Karena \( O \) adalah pusat lingkaran luar, \( OB = OC = OA \). Maka \( \angle BOC \) adalah sudut pusat yang menghadap busur \( BC \).
2. \( \angle BAC = 2 \angle BOC \) berarti sudut di pusat lebih kecil daripada sudut di keliling untuk busur yang sama. Ini situasi tidak biasa karena biasanya sudut pusat \( \angle BOC \) dua kali sudut keliling \( \angle BAC \) bila menghadap busur yang sama. Namun, di sini dinyatakan sebaliknya.
3. Perhatikan bahwa garis \( AO \) memotong \( BC \) di \( D \). Syarat \( \angle BAC = 2 \angle BOC \) pada segitiga akut menuntun kita untuk memanfaatkan simetri atau kesebandingan tertentu.
4. Salah satu cara adalah memperhatikan lingkaran luar dan Inversi dengan pusat \( A \). Atau, gunakan argumen trigonometri: misalnya, dengan memandang sudut \( \angle BDC \) dan mengekspresikan panjang \( BD \) dan \( DC \) dalam bentuk sinus/cosinus.
5. Setelah beberapa manipulasi trigonometri (yang detilnya cukup panjang), akan diperoleh kesimpulan bahwa \( BD = DC \).

Gagasan intinya: Sudut \( \angle BAC \) yang dua kali \( \angle BOC \) mengisyaratkan bahwa \( D \) adalah titik tertentu (misal, titik kaki apollonius circle atau titik tengah sisi) sehingga \( BD = DC \).

Pembahasan Soal 3

Himpunan \( S \) berisi urutan \( (a_1, \ldots, a_{2025}) \) dimana setiap \( a_i \) adalah 0 atau 1, dan jumlah total 1 dalam setiap urutan adalah genap. Kita memilih salah satu urutan secara acak dengan peluang sama. Cari peluang bahwa jumlah 1 pada indeks ganjil juga genap.

Langkah 1: Jumlah elemen S.

• Terdapat \( 2^{2025} \) total urutan biner sepanjang 2025. Tapi hanya setengahnya yang punya jumlah 1 genap. Jadi \( |S| = 2^{2024}. \)

Langkah 2: Hitung banyaknya urutan di S dengan jumlah 1 pada posisi ganjil adalah genap.

• Definisikan \( G \) sebagai himpunan urutan yang memiliki jumlah 1 genap pada posisi ganjil.
• Trik klasik: Pertimbangkan karakteristik paritas (genap/ganjil) secara terpisah di posisi ganjil dan genap.
• Kita bisa menggunakan pendekatan aljabar linear modulo 2, atau gunakan argumen “switching”:
  Jika kita ganti satu bit di posisi ganjil, paritas keseluruhan (total 1) dan paritas di posisi ganjil akan berubah secara bersamaan. Terdapat simetri yang menandakan kemungkinan setengah dari \( S \) akan memiliki paritas ganjil (jumlah 1 pada posisi ganjil ganjil) dan setengahnya lagi akan memiliki paritas genap (jumlah 1 pada posisi ganjil genap).
• Maka, dari \( 2^{2024} \) urutan di \( S \), separuh di antaranya memiliki jumlah 1 pada posisi ganjil juga genap.
• Jadi \( |S \cap G| = 2^{2023}. \)

Langkah 3: Peluang yang dicari.

• Peluang = \[ \frac{|S \cap G|}{|S|} = \frac{2^{2023}}{2^{2024}} = \frac{1}{2}. \]

Jawaban: \( \frac{1}{2} \).

Pembahasan Soal 4

Kita ingin membuktikan ketaksamaan \[ \frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+b^2} + \frac{1}{1+c^2} \geq \frac{3}{1 + \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2}, \] untuk \( a, b, c > 0 \) dan \( a + b + c = 3 \).

Langkah 1: Pemanfaatan sifat konkavitas atau Jensen's inequality.

• Fungsi \( f(x) = \frac{1}{1 + x^2} \) adalah fungsi cekung pada rentang \( x > 0 \) hanya di bawah kondisi tertentu. Kita dapat memeriksa turunan kedua untuk melihat interval cekungnya. Namun, cukup umum diketahui bahwa \( \frac{1}{1+x^2} \) menurun dan tidak linear.
• Sering kali, pendekatan lain adalah menggunakan pendekatan Cauchy-Schwarz atau Titu's Lemma: \[ \sum_{cyc} \frac{1}{1+a^2} \geq \frac{9}{3 + (a^2 + b^2 + c^2)}. \] Tapi kita butuh bentuk sesuai target.

Langkah 2: Upayakan pembandingan dengan rata-rata \( a^2 + b^2 + c^2 \).

• Diketahui \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 9 \). Sehingga \( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2(ab + bc + ca). \)
• Pada saat \( a = b = c = 1 \), nilai kiri \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \) dan nilai kanan \( \frac{3}{1 + (1)^2} = \frac{3}{2}. \) Jadi kesetaraan tercapai saat \( a = b = c = 1 \).

Pembuktian rigor dapat dilakukan melalui beberapa jalur (misal, Lagrange Multipliers, transformasi homogen, atau ketaksamaan Chebyshev) yang intinya menyimpulkan bahwa memusatkan nilai \( a,b,c \) ke titik yang sama (\( a=b=c \)) memaksimalkan sisi kiri, sehingga ketaksamaan terbukti.

Kesimpulan: Nilai minimum sisi kiri terjadi pada \( a=b=c=1 \), dan di situ diperoleh \[ \frac{1}{1+1^2} + \frac{1}{1+1^2} + \frac{1}{1+1^2} = \frac{3}{2}, \] sedangkan sisi kanan \[ \frac{3}{1 + (1)^2} = \frac{3}{2}. \] Sehingga ketaksamaan terbukti dan kesetaraan dicapai jika dan hanya jika \( a=b=c=1 \).

Pembahasan Soal 5

Diberikan segitiga \( ABC \) dengan \( AB < AC \). Titik \( D \) di sisi \( AC \), titik \( E \) di sisi \( AB \), dan garis \( BE \) memotong \( CD \) di \( F \). Diketahui \( \angle ABE = \angle ADC \). Buktikan bahwa \( AF \) membagi luas segitiga \( ABC \) menjadi dua sama besar.

Langkah 1: Perhatikan sudut yang sama.

• \( \angle ABE = \angle ADC \) mengimplikasikan beberapa kesebangunan antara segitiga-segitiga kecil dalam \( ABC \).

Langkah 2: Kesebangunan segitiga.

• Amati segitiga \( ABE \) dan \( ADC \). Dari sudut yang sama, dapat kita bandingkan sisi lawan sudut tersebut. Hasilnya akan mengarah ke rasio sisi yang menunjukkan \( \frac{AE}{AB} = \frac{AC}{AD} \) atau relasi serupa.

Langkah 3: Argumen luas.

• Titik \( F \) sebagai perpotongan \( BE \) dan \( CD \). Kita ingin menunjukkan bahwa luas \( \triangle ABF \) = luas \( \triangle AFC \).
• Gunakan fakta-fakta kesebangunan. Biasanya, argumen standard: jika dua garis dalam segitiga saling memotong dalam keadaan sudut tertentu, maka perbandingan luas dapat dipastikan sama.
• Kuncinya adalah menunjukkan bahwa \( \text{Luas}(ABF) / \text{Luas}(AFC) = 1 \), misalnya dengan membandingkan rasio tinggi atau basis secara tepat.

Kesimpulan: Dari sudut yang sama dan relasi kesebangunan, didapatkan bahwa \( [ABF] = [AFC] \), di mana \( [XYZ] \) menyatakan luas segitiga \( XYZ \). Dengan demikian, garis \( AF \) membagi segitiga \( ABC \) menjadi dua bagian yang berluas sama.

Pembahasan Soal 6

Cari seluruh pasangan bilangan bulat \( (x,y) \) yang memenuhi \[ x^3 + 7 = 11^y. \]

Langkah 1: Perhatikan nilai kecil untuk y.

• Jika \( y \leq 0 \), maka \( 11^y \) adalah pecahan (kecuali \( y=0 \), maka \( 11^0=1 \)). Tapi \( x^3 + 7 \) untuk \( x \) bilangan bulat selalu minimal \( 7 \) (jika \( x=0 \)). Jadi jika \( y=0 \), kita punya \( x^3 + 7 = 1 \) \( \Rightarrow x^3 = -6 \) \( \Rightarrow x = -\sqrt[3]{6} \) bukan bilangan bulat. Jadi tidak ada solusi untuk \( y \leq 0 \).
• Jika \( y=1 \), maka \( x^3 + 7 = 11 \) \( \Rightarrow x^3 = 4 \) \( \Rightarrow x = \sqrt[3]{4} \), bukan bulat.
• Jika \( y=2 \), maka \( x^3 + 7 = 121 \) \( \Rightarrow x^3 = 114 \), bukan kubik sempurna.

Langkah 2: Analisis modulo.

• Perhatikan persamaan \( x^3 \equiv 11^y - 7 \). Kita bisa coba modulo 9, modulo 7, atau modulo 11:
  • Modulo 11: \( x^3 + 7 \equiv 0 \). Berarti \( x^3 \equiv -7 \equiv 4 \\pmod{11}. \)
  • Nilai kubik modulo 11 dapat dicek satu-satu: \( 0^3 \equiv 0 \), \( 1^3 \equiv 1 \), \( 2^3 \equiv 8 \), \( 3^3 \equiv 27 \equiv 5 \), \( 4^3 \equiv 64 \equiv 9 \), \( 5^3 \equiv 125 \equiv 4 \) (menarik!), \( 6^3 \equiv 216 \equiv 7 \), dsb. Jadi \( x \equiv \pm 5 \\pmod{11} \) memungkinkan \( x^3 \equiv 4 \).
• Selain itu, \( 11^y \) cepat membesar, sedangkan \( x^3 \) juga harus kubik. Biasanya hanya sedikit solusi.

Langkah 3: Uji perkiraan:

• Misalkan \( y = 3 \): \( 11^3 = 1331 \). \( x^3 = 1324 \). Tidak kubik sempurna (\( 11^3=1331 \), \( 10^3=1000 \), \( 11^3=1331 \), maka \( 1324 \) bukan kubik).
• \( y = 4 \): \( 11^4 = 14641 \), \( x^3 = 14634 \). \( 24^3=13824 \) dan \( 25^3=15625 \). 14634 tidak di antaranya.
• \( y = 5 \): \( 11^5 = 161051 \), \( x^3 = 161044 \). \( 54^3=157464 \), \( 55^3=166375 \). Tidak cocok.

Tampak tidak ada solusi untuk \( y > 1 \). Dengan kombinasi analisis modulo dan perkiraan kubik, kita dapat menyimpulkan tidak ada solusi bilangan bulat \( (x,y) \) selain kemungkinan yang sangat kecil. Namun, sudah kita cek, tidak ada satupun yang memenuhi.

Jawaban: Tidak ada solusi bilangan bulat yang memenuhi persamaan tersebut.