Simulasi Contoh Soal Olimpiade Matematika OSN SMA : 2025 (2)

Berikut adalah kumpulan soal simulasi Olimpiade Matematika SMA dengan tingkat kesulitan yang dirancang setara dengan Olimpiade Sains Nasional (OSN). Seluruh soal di bawah ini belum pernah diujikan dan setiap soal dilengkapi dengan pembahasan (jawaban) yang ditempatkan di bagian akhir. Silakan gunakan Daftar Isi (ToC) di bawah untuk menavigasi ke soal atau pembahasan yang diinginkan.


Daftar Soal

  1. Soal 1 (Geometri - Segitiga & Garis Sejajar)
  2. Soal 2 (Geometri - Lingkaran & Titik Pusat)
  3. Soal 3 (Aljabar - Persamaan Fungsional)
  4. Soal 4 (Inequality - Pertidaksamaan)
  5. Soal 5 (Teori Bilangan - Kongruensi & Pembagi)
  6. Soal 6 (Kombinatorika - Penghitungan Subset)

Soal 1 (Geometri - Segitiga & Garis Sejajar)

Diberikan sebuah segitiga akut ABC dan titik D pada sisi BC. Sebuah garis melalui D yang sejajar AB berpotongan dengan perpanjangan AC di titik E. Misalkan AD dan BE berpotongan di P. Buktikan bahwa CP membagi segmen DE tepat di titik tengahnya, yaitu jika CP memotong DE di M, maka DM = ME.

Lihat Pembahasan Soal 1


Soal 2 (Geometri - Lingkaran & Titik Pusat)

Pada lingkaran dengan pusat O dan jari-jari R, terdapat tali busur (chord) AB yang panjangnya kurang dari diameter. Dari titik A, tarik perpanjangan AB hingga ke titik T di luar lingkaran, sedemikian sehingga AT = AB. Garis OT memotong lingkaran di titik C. Buktikan bahwa AC adalah diameter lingkaran tersebut.

Lihat Pembahasan Soal 2


Soal 3 (Aljabar - Persamaan Fungsional)

Tentukan semua fungsi f: \(\mathbb{R}\) → \(\mathbb{R}\) yang memenuhi dua sifat berikut untuk semua x, y \(\in \mathbb{R}\):
  • (i) f(x+y) = f(x) + f(y)
  • (ii) f(xy) = f(x)f(y)
Anggap f bersifat kontinu di sekurang-kurangnya satu titik real. Jelaskan mengapa anggapan kontinu ini diperlukan dan tentukan semua penyelesaian f(x) di bawah asumsi tersebut.

Lihat Pembahasan Soal 3


Soal 4 (Inequality - Pertidaksamaan)

Misalkan a, b, c adalah bilangan real positif dengan a + b + c = 1. Buktikan bahwa:

$$\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{a+b} \ge \frac{1}{2}.$$

Lihat Pembahasan Soal 4


Soal 5 (Teori Bilangan - Kongruensi & Pembagi)

Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat positif n > 2 yang dapat ditulis sebagai $$ n = \frac{p_1 + p_2 + \dots + p_{n-1}}{(p_1 - 1)(p_2 - 1)\dots(p_{n-1} - 1)} $$ dengan p_i adalah bilangan prima distinct (berbeda). (Petunjuk: gunakan pendekatan kontradiksi dan tinjau v_p(\cdot) dalam faktorisasi prima.)

Lihat Pembahasan Soal 5


Soal 6 (Kombinatorika - Penghitungan Subset)

Sebuah himpunan S memiliki n elemen. Biarkan k adalah bilangan bulat dengan 1 &le k \le n. Definisikan \(\mathcal{F}\) sebagai keluarga semua himpunan bagian (subset) dari S yang berukuran k. Kita katakan \(\mathcal{F}\) “berpasangan saling beririsan” jika setiap dua subset di \(\mathcal{F}\) memiliki minimal satu elemen yang sama. Tentukan ukuran maksimum \(\mathcal{F}\) agar kondisi “berpasangan saling beririsan” tersebut terpenuhi.

Lihat Pembahasan Soal 6


Pembahasan (Jawaban)

Daftar Pembahasan

  1. Pembahasan Soal 1
  2. Pembahasan Soal 2
  3. Pembahasan Soal 3
  4. Pembahasan Soal 4
  5. Pembahasan Soal 5
  6. Pembahasan Soal 6

Pembahasan Soal 1

Geometri - Segitiga & Garis Sejajar:

Diberikan ABC segitiga akut, D di BC, serta sebuah garis melalui D sejajar AB memotong perpanjangan AC di E. AD dan BE berpotongan di P. Ingin dibuktikan bahwa CP memotong DE di titik tengah.

  1. Gunakan Teorema Ceva atau Menelaus pada segitiga ABC. Garis DE sejajar AB memberikan rasio tertentu pada sisi-sisi.
  2. Dari kesebandingan panjang AD:DB dan AE:EC (akibat garis sejajar), dapat disimpulkan bahwa CP akan membelah DE sama panjang. (Titik potong M di DE adalah midpoint.)
  3. Teknik alternatif: Koordinat. Letakkan A di (0,0), B di (1,0), dsb. Menunjukkan M adalah midpoint DE.

Kembali ke Soal 1 ↑


Pembahasan Soal 2

Geometri - Lingkaran & Titik Pusat:

Lingkaran berpusat O dengan chord AB dan diperpanjang ke T sedemikian hingga AT = AB. Garis OT memotong lingkaran di C; buktikan AC diameter.

  1. Perhatikan segitiga AOT dan AOB. Dari AT = AB, dapat ditarik kesimpulan sudut-sudut tertentu. Atau buktikan bahwa sudut ACB = 90° (Teorema Thales).
  2. Jika terbukti \(\angle ACB = 90^\circ\), maka AC adalah diameter. Sebab, busur yang diameternya AC akan memotong lingkaran di sudut siku-siku.

Kembali ke Soal 2 ↑


Pembahasan Soal 3

Aljabar - Persamaan Fungsional:

Fungsi f dari real ke real, dengan f(x+y) = f(x) + f(y) dan f(xy) = f(x)f(y). Anggap f kontinu di setidaknya satu titik.

  1. Dari f(x+y) = f(x) + f(y), jika f kontinu, maka f(x) harus linear: f(x) = kx.
  2. Substitusikan ke f(xy) = f(x)f(y): \[ k(xy) = (kx)(ky) = k^2 x y. \] Untuk xy &neq; 0, diperoleh k = k^2, jadi k = 0 atau k = 1.
  3. k = 0f(x) = 0. k = 1f(x) = x.
  4. Keduanya memenuhi kondisi. Asumsi kontinuitas diperlukan karena tanpa itu terdapat banyak fungsi "liar" (discontinuous) yang memenuhi f(x+y) = f(x) + f(y).

Kembali ke Soal 3 ↑


Pembahasan Soal 4

Inequality - Pertidaksamaan:

Diberikan a + b + c = 1, buktikan $$\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{a+b} \ge \frac{1}{2}.$$

  1. Gunakan homogenisasi (karena a+b+c=1) atau teknik Titu's Lemma: \[ \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{a+b} \ge \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)} = \frac{a+b+c}{2} = \frac{1}{2}. \] (Ada beberapa versi detail pembuktian, tetapi intinya serupa.)
  2. Substitusi a=b=c=\(\tfrac{1}{3}\) menunjukkan kasus batas tercapai. Nilai sisi kiri tepat \(\frac{1}{2}\).

Kembali ke Soal 4 ↑


Pembahasan Soal 5

Teori Bilangan - Kongruensi & Pembagi:

Tidak ada n>2 yang dapat ditulis $$ n = \frac{p_1 + p_2 + \dots + p_{n-1}}{(p_1 - 1)(p_2 - 1)\dots(p_{n-1} - 1)}, $$ dengan p_i prima distinct.

  1. Anggap ada solusi. Tinjau prime factor p yang membagi salah satu p_i - 1. Perhatikan v_p pada pembilang dan penyebut.
  2. Umumnya, hasil perkalian (p_1-1)(p_2-1)\cdots(p_{n-1}-1) akan terlalu besar dibandingkan dengan penjumlahan p_1 + \dots + p_{n-1}. Kontradiksi muncul dari analisis eksponen p-adic.
  3. Akibatnya, persamaan tersebut tidak bisa dipenuhi untuk n>2.

Kembali ke Soal 5 ↑


Pembahasan Soal 6

Kombinatorika - Penghitungan Subset:

Himpunan S berukuran n, dan kita meninjau semua subset berukuran k. Keluarga \(\mathcal{F}\) “berpasangan saling beririsan” berarti setiap dua subset di \(\mathcal{F}\) punya irisan tak kosong. Cari ukuran maksimum \(\mathcal{F}\).

  1. Dari ErdÅ‘s–Ko–Rado theorem, jika n &ge 2k, maka ukuran maksimum adalah \(\binom{n-1}{k-1}\). Ide utama: pilih semua subset berukuran k yang mengandung satu elemen khusus (misal x).
  2. Cara ini jelas membuat setiap dua subset saling beririsan (setidaknya di x).
  3. Tidak ada konstruksi lain yang lebih besar daripada itu, sehingga itulah ukuran maksimum.
  4. Untuk n < 2k ada varian, tetapi prinsip serupa bahwa “memaksa satu elemen umum” memberikan keluarga berukuran paling besar yang pairwise intersecting.

Kembali ke Soal 6 ↑


Penutup:
Demikian beberapa soal simulasi Olimpiade Matematika SMA yang mencakup topik geometri, aljabar, teori bilangan, pertidaksamaan, serta kombinatorika. Diharapkan soal-soal ini dapat menjadi referensi latihan yang bermanfaat, dengan tingkat kesulitan yang relatif menantang seperti dalam OSN. Selamat belajar dan semoga sukses!


Baca Juga :