Simulasi Contoh Soal Olimpiade Matematika OSN SMA : 2025 (2)
Berikut adalah kumpulan soal simulasi Olimpiade Matematika SMA dengan tingkat kesulitan yang dirancang setara dengan Olimpiade Sains Nasional (OSN). Seluruh soal di bawah ini belum pernah diujikan dan setiap soal dilengkapi dengan pembahasan (jawaban) yang ditempatkan di bagian akhir. Silakan gunakan Daftar Isi (ToC) di bawah untuk menavigasi ke soal atau pembahasan yang diinginkan.
Daftar Soal
- Soal 1 (Geometri - Segitiga & Garis Sejajar)
- Soal 2 (Geometri - Lingkaran & Titik Pusat)
- Soal 3 (Aljabar - Persamaan Fungsional)
- Soal 4 (Inequality - Pertidaksamaan)
- Soal 5 (Teori Bilangan - Kongruensi & Pembagi)
- Soal 6 (Kombinatorika - Penghitungan Subset)
Soal 1 (Geometri - Segitiga & Garis Sejajar)
Soal 2 (Geometri - Lingkaran & Titik Pusat)
Soal 3 (Aljabar - Persamaan Fungsional)
- (i) f(x+y) = f(x) + f(y)
- (ii) f(xy) = f(x)f(y)
Soal 4 (Inequality - Pertidaksamaan)
$$\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{a+b} \ge \frac{1}{2}.$$
Soal 5 (Teori Bilangan - Kongruensi & Pembagi)
Soal 6 (Kombinatorika - Penghitungan Subset)
Pembahasan (Jawaban)
Daftar Pembahasan
- Pembahasan Soal 1
- Pembahasan Soal 2
- Pembahasan Soal 3
- Pembahasan Soal 4
- Pembahasan Soal 5
- Pembahasan Soal 6
Pembahasan Soal 1
Geometri - Segitiga & Garis Sejajar:
Diberikan ABC segitiga akut, D di BC, serta sebuah garis melalui D sejajar AB memotong perpanjangan AC di E. AD dan BE berpotongan di P. Ingin dibuktikan bahwa CP memotong DE di titik tengah.
- Gunakan Teorema Ceva atau Menelaus pada segitiga ABC. Garis DE sejajar AB memberikan rasio tertentu pada sisi-sisi.
- Dari kesebandingan panjang AD:DB dan AE:EC (akibat garis sejajar), dapat disimpulkan bahwa CP akan membelah DE sama panjang. (Titik potong M di DE adalah midpoint.)
- Teknik alternatif: Koordinat. Letakkan A di (0,0), B di (1,0), dsb. Menunjukkan M adalah midpoint DE.
Pembahasan Soal 2
Geometri - Lingkaran & Titik Pusat:
Lingkaran berpusat O dengan chord AB dan diperpanjang ke T sedemikian hingga AT = AB. Garis OT memotong lingkaran di C; buktikan AC diameter.
- Perhatikan segitiga AOT dan AOB. Dari AT = AB, dapat ditarik kesimpulan sudut-sudut tertentu. Atau buktikan bahwa sudut ACB = 90° (Teorema Thales).
- Jika terbukti \(\angle ACB = 90^\circ\), maka AC adalah diameter. Sebab, busur yang diameternya AC akan memotong lingkaran di sudut siku-siku.
Pembahasan Soal 3
Aljabar - Persamaan Fungsional:
Fungsi f dari real ke real, dengan f(x+y) = f(x) + f(y) dan f(xy) = f(x)f(y). Anggap f kontinu di setidaknya satu titik.
- Dari f(x+y) = f(x) + f(y), jika f kontinu, maka f(x) harus linear: f(x) = kx.
- Substitusikan ke f(xy) = f(x)f(y): \[ k(xy) = (kx)(ky) = k^2 x y. \] Untuk xy &neq; 0, diperoleh k = k^2, jadi k = 0 atau k = 1.
- k = 0 → f(x) = 0. k = 1 → f(x) = x.
- Keduanya memenuhi kondisi. Asumsi kontinuitas diperlukan karena tanpa itu terdapat banyak fungsi "liar" (discontinuous) yang memenuhi f(x+y) = f(x) + f(y).
Pembahasan Soal 4
Inequality - Pertidaksamaan:
Diberikan a + b + c = 1, buktikan $$\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{a+b} \ge \frac{1}{2}.$$
- Gunakan homogenisasi (karena a+b+c=1) atau teknik Titu's Lemma: \[ \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{a+b} \ge \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)} = \frac{a+b+c}{2} = \frac{1}{2}. \] (Ada beberapa versi detail pembuktian, tetapi intinya serupa.)
- Substitusi a=b=c=\(\tfrac{1}{3}\) menunjukkan kasus batas tercapai. Nilai sisi kiri tepat \(\frac{1}{2}\).
Pembahasan Soal 5
Teori Bilangan - Kongruensi & Pembagi:
Tidak ada n>2 yang dapat ditulis $$ n = \frac{p_1 + p_2 + \dots + p_{n-1}}{(p_1 - 1)(p_2 - 1)\dots(p_{n-1} - 1)}, $$ dengan p_i prima distinct.
- Anggap ada solusi. Tinjau prime factor p yang membagi salah satu p_i - 1. Perhatikan v_p pada pembilang dan penyebut.
- Umumnya, hasil perkalian (p_1-1)(p_2-1)\cdots(p_{n-1}-1) akan terlalu besar dibandingkan dengan penjumlahan p_1 + \dots + p_{n-1}. Kontradiksi muncul dari analisis eksponen p-adic.
- Akibatnya, persamaan tersebut tidak bisa dipenuhi untuk n>2.
Pembahasan Soal 6
Kombinatorika - Penghitungan Subset:
Himpunan S berukuran n, dan kita meninjau semua subset berukuran k. Keluarga \(\mathcal{F}\) “berpasangan saling beririsan” berarti setiap dua subset di \(\mathcal{F}\) punya irisan tak kosong. Cari ukuran maksimum \(\mathcal{F}\).
- Dari ErdÅ‘s–Ko–Rado theorem, jika n &ge 2k, maka ukuran maksimum adalah \(\binom{n-1}{k-1}\). Ide utama: pilih semua subset berukuran k yang mengandung satu elemen khusus (misal x).
- Cara ini jelas membuat setiap dua subset saling beririsan (setidaknya di x).
- Tidak ada konstruksi lain yang lebih besar daripada itu, sehingga itulah ukuran maksimum.
- Untuk n < 2k ada varian, tetapi prinsip serupa bahwa “memaksa satu elemen umum” memberikan keluarga berukuran paling besar yang pairwise intersecting.
Penutup:
Demikian beberapa soal simulasi Olimpiade Matematika SMA yang mencakup topik geometri, aljabar, teori bilangan, pertidaksamaan, serta kombinatorika. Diharapkan soal-soal ini dapat menjadi referensi latihan yang bermanfaat, dengan tingkat kesulitan yang relatif menantang seperti dalam OSN. Selamat belajar dan semoga sukses!
Baca Juga :